Topologia

Table of Contents

Lähtö/Intro

Sopimus:
MA = Metrinen avaruus / metric space
TA = Topologien avaruus / topology space

The free e-book provided by Morris is very helpful: Topology without Tears

Topologia on maten ala, joka tutkii avaruuksien ominaisuuksia, jotka säilyvät jatkuvissa deformaatioissa. (esim. venytys tai taivutus / streching and bending).
Yleinen topologia: “avointen joukkojen teoria” ja topologia avaruuksien perusomin (jatkuvuus, raja-arvot, kompaktisuus ja yhtenäisyys).
Algebrallinen topologia: topologia avaruuksien tutkimus algebran menetelmien avulla.

This pages creates during fall-term 2015 in University of Jyväskylä, Finland.
Opettaja: Mikko Salo.
Kurssit: MATS213 Metriset Avaruudet ja MATS214 Topologia
Materiaalit: Topologia I & II (Jussi Väisälä)

Sisätuloavaruus ja normiavaruus / Inner Product Spaces and Normed Vector Space

Verktorialiavaruus (Vector Space)

(M1) \( x,y\in \mathbb{F} \Rightarrow x+y\in\mathbb{F} \);
(M2) \( x\in \mathbb{F} \Rightarrow ax\in\mathbb{F} \);
(M3) \( \overline{0}\in \mathbb{F} \).

Sisätuloavaruus (Inner Prodcut Space)

(M1) \( x\cdot y=y\cdot x \);
(M2) \( (ax)\cdot y=a(x\cdot y) \);
(M3) \( (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z \);
(M4) \( x\cdot x\geq 0 \);
(M5) \( x\cdot x=0 \Leftrightarrow x=\overline{0} \).
tai, Avaruudessa C[a,b] kaava … määrittelee sisätulon (The following formular in C[a,b] can define inner product):
▻▻ \( f \cdot g = \int_a^b f(x)g(x)dx \).

Normi/Normiavaruus (Norm/Normed Space)

Jos E on Sisätuloavaruus, niin sen normi toteutta ehdot (If E is inner product space, so its norm satisfies the following conditions):
(M1) \( |x+y|\leq |x|+|y| \);
(M2) \( |ax|=|a||x| \);
(M3) \( |x|=0 \Leftrightarrow x=\overline{0} \).

Schwarzin Epäyhtälö (Schwarz’s Inequality)

\( |x\cdot y|\leq|x||y|\ \ \ \forall x,y\in\mathbb{E}. \).

Metrinen avaruus / Metric spaces

Metriikka (Metric)

(M1) \( d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) \);
(M2) \( d(x,y)=d(y,x) \);
(M3) \( d(x,y)=0\ \Leftrightarrow\ x=y \).
Esimerkkejä:
▻▻ Euklidinen/Tavallinen metriikka \( d(x,y)= \sum\limits_{i=1}^n \sqrt{ |x_i-y_i|^2} \).
▻▻ {0,1}-metriikka \( d(x,y) = \begin{cases}1,\ x\neq y\\0,\ x =y \end{cases} \).
Osajoukon metriikka:
▻▻ \( (X,d) \) metrinen avaruus ja \( A \subset X \) ⇒ \( d_A=d|A \times A \) on selvästi metriikka A:ssa.

Kuulat ja pallot (ball and sphere)

\( B(a,r) = \{ x \in X: d(x,a) \lt r\}\\
\overline{B}(a,r) =\{ x \in X: d(x,a) \leq r\}\\
S(a,r) = \{ x \in X: d(x,a) = r\}
\).
Osajoukon kuulat:
▻▻ \( B_A(a,r)=A\cap B(a,r) \).

Eetäisyys ja läpimitta (distance and diameter)

Joukkojen välinen etäisyys: \( d(A,B)=\inf \{d(x,y): x\in A, Y\in B\} \).
▻▻ \( A \subset X,\ ja\ x,y\in X \) niin, \( |d(x, A)-d(y,A)| \leq d(x,y) \).
Joukon läpimitta: \( d(A)=\sup \{d(x,y): x\in A, y\in A\} \).
Lauseet:
(1) Olkoon \( (X,d) \) metrinen avaruus ja \( a \in X, r \gt 0 \), ⇒ \( d(B(a,r)) \leq d (\overline{B}(a,r)) \leq 2r \);
(2) Olkoon A on normi avaruus, ⇒ \( d(B(a,r)) = d (\overline{B}(a,r)) = 2r \).

Rajoitetut joukot ja kuvaukset (Bounded sets and maps)

Rajoitettu joukko: \( d(A) \lt \infty \);
Rajoitettu kuvaus: \( fD \subset X \) on rajoitettu;
Lauseet (metrinen avaruus):
(1) Joukko \( A \subset X \) on rajoitettu, joss ⇔ \( A \subset B(a,r) \) (eli. A sisältyy X:n johonkin kuulaan).
(2) Rajoitettuja osajoukkoja \( A,B \subset X \), niin ⇒ \( d(A \cup B) \leq d(A) + d(B) + d(A,B) \).

Avoimet joukut ja ympäristö / Open sets and neighboring (basis)

Sopimus: \( (X,d) \) on metrinen avaruus.

Avoin joukko (Open set)

\( \forall\ x \in U \subset X,\ B(x,r) \subset U \).
▻▻ Merkintää \( U ⟃ \ X \) Lauseet:
(1) Avoimien joukkojen mielivaltainen yhdiste on avoin (Any union of open sets is open).
(2) Avoimien joukkojen äärellinen äärellinen leikkaus on avoin (Finite intersections of open sets is open).
(3) \( U \subset X \) on avoin, joss ⇔ tyhjä tai yhdiste avoimista kuulista (empty set or compound of open balls).

Ympäristö (Neighborhood Basis)

Joukko \( U \subset X \) on pisteen \( a \in X \) ympäristö, jos \( a\in U ⟃\ X \).
Lauseet:
(1) \( U_1,…,U_k \) ovat \( a \in X \) ympäristöjä, niin ⇒ \( \bigcap\{U_j: 1\leq j \leq k\} \) on ympäristö.
(2) \( A \subset X \) on avoin, joss ⇔ \( x \in A \) on ympäristö \( U(x) \subset A \) .
(3) a ja b on eri pisteitä, niin ⇒ niillä on erilliset ympäristöt (different point has different neighborhood basises).

Erakkopiste ja diskreetti joukko (isolated point and discrete set)

Erakkopiste: piste a on sellainen ympäristö V, että \( V \cap A = \{a\} \).
Diskreetti joukko: kaikki pisteet ovat erkkopisteitä (all points are isolated points).

Topologinen avaruus (Topologic space)

Avaruuden topologia: \( \mathcal{ T} _d = \{U: U ⟃\ X\} \).
Topologinen avaruus:
(M1) \( \mathcal{ T} \) sisältää jäsentensä mielivaltaiset yhdisteet (contains any unions);
(M2) \( \mathcal{ T} \) sisältää jäsentensä äärelliset yhdisteet (contains finite intersections);
(M3) \( \emptyset \in \mathcal{ T} \text{ ja } X \in \mathcal{ T} \).

Jatkuva kuvaus / Continuous map

Jatkuvuus (Continuity)

Kuvaus \( f:X \to Y \) on jatkuva pisteessä \( a \in X \):
▻▻ \( \forall\varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 \) : että \( d'(f(x),f(a)) \lt \varepsilon \) aina, kun \( x \in X \text{ ja } d(x,a) \lt \delta \).
▻▻ to clarify \( \forall\varepsilon \gt 0\), we can find a \( \delta \gt 0\), so that
▻▻ ▻▻ \( d(x,a) \lt \delta \), ⇒ \( d'(f(x),f(a)) \lt \varepsilon \).
Voidaan kirjoittaa muodossa (can write in the form as):
▻▻ \( fB(a,\delta) \subset B(f(a),\varepsilon) \) -or- \( B(a,\delta) \subset f^{-1}B(f(a),\varepsilon) \).
f on jatkuva, jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä a.

Lipschitz-kuvaus

\( \exists\ M \geq 0,\ d'(f(x),f(y)) \leq Md(x,y)\ \forall x,y\in X \).
tällöin f on M-Lipschitz.
▻▻ Lipschitz-kuvaus on jatkuva.

Lauseet Jatkuvasta (Theorem about Continuity)

Olkoon \( f:X \to Y,\ a \in X \) seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät (the following statements are equivalent):
(1) f on jatkuva a:ssa;
(2) \( \forall\ f(a) \text{:n ympäristöä }V,\ \exists\ a \text{:n ympäristö }U,\ fU \subset V \) ;
(3) \( \forall\ f(a) \text{:n ympäristöä }V,\ \exists\ a \text{:n ympäristö }U,\ U \subset f^{-1}V \).
Lause ⇔ :
f on jatkuva, joss ⇔ \( \forall \text{ avoimen joukon }V \subset Y \text{ alkukuva(inverse image) } f^{-1}V\) on avoin.
Lause ⇒ :
\( X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z,\ a \in X\), jos f ja g on jatkuva, niin ⇒ \( g \circ f \text{ eli }g(f(a)) \) on jatkuva.
Lause ⇒ :
\( f:X \to R \) on jatkuva, niin ⇒ \( 1/f:X\to R \) on jatkuva.

Jatkuva kuvaus normiavaruuteen / Continous map on normed space

Sopimus: \( (X,d) \) metrinen avaruus, \( (E,|\cdot|) \) normiavaruus.

Kuvausten summa ja tulo (sum and product of maps)

Olkoot \( f,g: X \to E \) kuvauksia, ja jatkuvia pisteessä \( a \in X \) :
▻▻ \( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \), on jatkuva pisteessä.
▻▻ \( (\alpha)(x)=\alpha (x)f(x),\text{ jos }\alpha : X \to \mathbb{R} \), on jatkuva pisteessä.

\( R^n \) Prjoektiot (Projection)

Merkitään \( x_j = pr_j(x) \), ja \( pr_j:R^n \to R \);
\( pr_j(x)=x \cdot e_j\), jossa \( e_j \text{ on } R^n \):n standardikannan j:s vektori eli (0,…,0,1,0….).
▻▻ Schwarzin epäyhtälön: \( |pr_j(x)-pr_j(y)| \leq |x-y| \).
Lause:
▻▻ Projektiokuvaukset \( pr_j: R^n \to R \) ovat 1-lipschitz-kuvauksia ja sitten jatkuvia.

Komponenttikuvaukset (Component description)

Funktiot \( f_j:X \to R,\ 1 \leq j \leq n \) on \( f:X \to R^n \) komonenttikuvauksisksi.
▻▻ niin \( f_j = pr_j \circ f\);
▻▻ ja \( f_j(x)=f(x) \cdot e_j,\ \ \ f(x)=\sum\limits_{j=1}^n f_j(x)e_j \) .
Lause:
▻▻ \( f:X \to R^n \) on jatkuva a:ssa, joss ⇔ \( f_j:X \to R \) on jatkuva a:ssa.

Suljetut joukot ja sulkeuma / closed sets and closure

Suljettu joukko (Closed set)

\( F \subset X \) on suljettu X:ssä, jos sen komplementti \( F = X \setminus F\) on avoin.
Merkitään \( F \subset\!\!\!\! c \ X\).
Esimerkkejä:
▻▻ \( \emptyset \) on aina sekä avoin että suljettu;
▻▻ \( \mathbb{Q}, [ 0,1 [ \) ei ole avoin eikä suljettu.
Lause:
(1) Suljettujen joukkojen mielivaltainen leikkaus on suljettu (Closed sets’ abitrary intersections are closed);
(2) Suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste on suljettu (finite unions are closed).
(3) \( X \) ja \( \emptyset \) ovat suljettuja X:ssä.
(4) U avoin ja F suljettu, niin ⇒ \( U \setminus F \) on avoin, ja \( U \setminus F \) on suljettu.

Sulkeuma (Closure)

\( \overline{A}=cl(A)\) :
={\( x \in X \): Jokainen x:n ympäristö kohtaa A:n }
={\( x \in X \): Jokainen x:n kuulaympäristö kohtaa A:n }
Lause:
(1) \( A \subset \overline{A} \);
(2) \( \overline{A} \) on aina suljettu;
(3) \( A \subset B \subset\!\!\!\! c X\), niin ⇒ \( \overline{A} \subset B\);
(4) \( \overline{A} \) on X:n suppein slujettu osajoukko, joka sisältää A:n (Smallest closed set that contains A);
(5) \( A \subset B \), niin ⇒ \( \overline{A} \subset \overline{B} \);
(6) A on suljettu, joss ⇔ \( A = \overline{A} \);
(7) \( \overline{\overline{A}} = \overline{A} \);
(8) \( \overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B} \);
(9) \( \overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B} \);

Lauseet

(1) A on ylhäältä rajoitettu (bounded from above):
▻▻ \( \sup A \in \overline{A} \);
▻▻ Jos A on lisäksi suljettu, \( \sup A \in A \) ja supA = maxA.
▻▻ Samaa koskee että A on alhaalta rajoitettu (same applies to bounded from below).
(2) Jos \( \emptyset \neq A \subset X \), niin ⇒ \( \overline{A}=\{ x \in X: d(x,A)=0 \} \).
HUOM:
▻▻ \( \overline{B(A,r)} \subset \overline{B}(A,r) \):
▻▻ ESIM \( B(0,1) = \{0\} \), sitten \( \overline{B}(0,1) = \{-1,0,1\},\ \ \overline{B(0,1)} = \{0\} \).

Yhtäpitävät ehdot (equal terms)

\( f:X \to Y \) Jatkuva pisteessä:
▻▻ \( f \) on jatkuva a:ssa;
▻▻ \( f(a) \in \overline{fA} \).
\( f:X \to Y \) Jatkuva funktio:
▻▻ f on jatkuva;
▻▻ \( \forall \text{ suljetun joukon } F \subset Y \) alkukuva on suljettu (closed set F’s inverse image is closed);
▻▻ \( \forall\ A \subset X,\ \ f\overline{A} \subset \overline{fA} \).

Sisä-, ulko- ja reunapiste / Interior, exterior and boundary points

Määritelmiä

Sisäpiste (interior point): \( U \subset A\) ;
Ulkopiste (exterior point): \( U \subset ∁ A\) ;
Reunapiste (boundary point): ei ole sisä- eikä ulkopiste.
Joukot: \( \text{int}A, \text{ext}A, \partial A\) .
Esim :
Tason suljettu tai avoin kiekko (open/closed disc on a plane) \( \overline{B}(a,r),\ B(a,r)\) :
▻▻ \( \text{int}B=\text{int}\overline{B}=B(a,r) \) ;
▻▻ \( \text{ext}B=\text{ext}\overline{B}=∁ \overline{B}(a,r) \) ;
▻▻ \( \partial B=\partial\overline{B}=S(a,r)\) .
Olkoon \( \mathbb{ Q} \subset \mathbb{ R} \) :
▻▻ \( \text{ int}\mathbb{ Q}=\text{ ext}\mathbb{ Q}=\emptyset; \partial \mathbb{ Q}= \mathbb{ R} \) .

Lause

(1) \( \text{ int}A \subset A,\ \text{ ext}A \subset ∁ A \) ;
(2) A on avoin, joss ⇔ \( \text{ int} A=A\) ;
(3) \( \text{ ext}A = \text{ int}∁ A,\ \text{ int}A= \text{ ext}∁ A \) ;
(4) \( \text{ ext}A=∁ \overline{A},\ \text{ int}A=∁ \overline{∁ A} \) ;
▻▻ \( \overline{ A}= \text{ int}A \cup \partial A = A \cup \partial A \) ;
(5) \( \partial A = \overline{A} \cap \overline{∁ A}=\overline{A} \setminus \text{int}A \) ;
▻▻ \( \partial A\) on aina suljettu;
(6) \( \partial A = \partial ∁ A\) ;
(7) A on avoin, niin ⇒ \( \partial A= \overline{A} \setminus A\) ;
(8) \( \text{ int}A \) on laajin avoin osajoukko, joka sisältyy A:han (the wides/largest open subset that contain A).

Jonot ja raja-arvot / Sequence and limit (value)

Jono (Sequence)

\( (x_n)_{n \in \mathbb{ N} }\) , tai lyhyesti \( x_n\) :
▻▻ Kuvaus: \( x: \mathbb{ N} \to D \) .

Suppeneminen (Convergency)

\( (x_n)\) suppenee kohti (converges towards) pistettä \( a\) , jos \( a\) :N ympäristöä \( U\) :
▻▻ \( \exists\ n_0 \in \mathbb{ N} \) , että \( x_n \in U\) kun \( n \geq n_0\) .
▻▻ Merkitään, \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n=a\) , on jonon \( (x_n)\) raja-arvoksi .

Lause

Seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät :
(1) \( x_n \to a\) ;
(2) a:n ympäristö \( U\) ⇒ \( x_n \notin U\) vain äärellisen monella indeskillä n (only finite many index);
(3) \( \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{ N} \) , että \( d(x_n, a) \lt \varepsilon \text{ kun } n \geq n_0 \) ;
(4) \( d(x_n, a) \to 0 \) .
– – –
▻▻ Metrisen avaruuden jono voi supeta enintään yhtä pistettä kohti (can covnerge to one point at maximal).
– – –
▻▻ \( a \in \overline{A}\) , joss ⇔ \( \exists \text{ jono }(x_n),\ x_n \to a \) .
– – –
▻▻ \( A \subset X\) on suljettu, joss ⇔ A sisältää kaikkien X:ssä suppenevien jonojensa raja-arvot (A contians all limits of convegent sequences in X).
– – –
Seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät, olkoon kuvaus \( f:X \to Y,\ a\in X\) :
(1) \( f\) on jatkuva a:ssa ;
(2) Jono \( x_n,\ x_n \to a\) , niin ⇒ \( f(x_n)\to f(a)\) .
– – –
\( (x_k) \text{ jono } \mathbb{ R}^n:ssa \) :
▻▻ \( (x_k)\) suppenee kohti pistettä \( a \in \mathbb{ R}^n \) , joss ⇔ \( pr_j(x_k) \to pr_j(a)\) :
– – –
▻▻ \( x_n \to a,\ y_n \to b\) , niin ⇒ \( d(x_n, y_n) \to d (a,b)\) .
– – –
▻▻ \( x_n \to x_0,\ y_n \to y_0, \ a_n (\in \mathbb{ R}) \to a_0 \) , niin ⇒ \( x_n+y_n \to x_0 + y_0\) ja \( a_n x_n \to a_0 x_0\) .

Jonon kasautumisarvot

Olkoon jono \( (x_n)\ X \) :ssä , piste \( a \in X,\ a\) on jonon kasautumisarvo (accumulation/cluster limit) jos:
▻▻ \( \forall\ a\text{:n ympäristö } U \text{ kohti } x_n \in U \) äärettömän monella indeksillä \( n\in \mathbb{ N} \) (a‘s neighborhood towards infinitely many \( x_n\) ).
▻▻ ▻▻ Jos \( x_n \to a\) , niin ⇒ a on kasautumisarvo.
▻▻ ▻▻ Jonolla voi olla useita kasautumisarvoja.
– – –
Havaintoja (observations)
(1) \( a\in X\) on kasautumisarvo, joss ⇔ \( \forall \varepsilon \gt 0,\ k \in \mathbb{ N},\ \exists\ n \) , että \( n \gt k,\ d(x_n,a ) \lt \varepsilon\) ;
(2) Jos \( \forall n,\ x_n \in A \subset X\) , niin ⇒ kasautumisarvot \( \in \overline{A}\) ;
(3) \( A=\{ x_n:n\in \mathbb{ N} \}\) , jos a on joukon A kasautumipiste, niin ⇒ a on \( (x_n)\) kasautumisarvo. ;

Osajonot

Merkitään \( (y_k)\) , jossa \( y_k = x_{n_k}, \text{ ja } n_k \geq k \) .
Lause:
(1) Jos \( x_n \to a\) , niin ⇒ \( y_k \to a\) ;
(2) Piste a on \( (x_n)\) kasautumisarvo, joss ⇔ on osajono, joka suppenee kohti a:ta.

Kuvausien suppeneminen

Kuvaukset \( f_n:D \to X\) suppenevat tasaisesti (converge uniformly) D:ssä kohti \( f:D \to X\) joss ⇔ :
▻▻ \( \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{ N} \) , että \( d(f_n(x),f(x)) \lt \varepsilon \text{, kun }n\geq n_0 \text{ ja } x \in X \) .
Lause :
Jono \( (f_n)\) jatkuvia kuvauksia \( f_n:X \to Y\) , jotka suppenevat kohti \( f:X \to Y\) , niin ⇒ f on jatkuva.

Raja-arvot

pending: sivu 85 lause 11.26

Täydellisyys / Completeness (PENDING UPDATE)

coming soon

Pending: Jonot ja raja-arvot (11.26-11.28), Täydellisyys (12.1-12.10)

Kompaktius / Compactness

Määritelmä

Metrinen avaruus \( (X,d)\) on kompakti jos:
▻▻ Jokaisella joukon \( X\) jonolla on jokin suppeneva osajono. (every sequence has a convergent subsequence)
—Esimerkkejä—
(1) Äärellinen joukko on aina kompakti;
(2) \( \mathbb{ R} \) ei ole kompakti;
(3) Avoin väli \( ] 0,1 [\) ei ole kompakti;
(4) Suljettu väli \( [ a,b ]\) on kompkti.

Lause

Olkoon \( (X,d)\) metrinen avaruus:
(1) \( A \subset X\) kompakti, niin ⇒ \( A\) on suljettu.
(2) \( X\) kompakti ja \( A \subset X\) suljettu, niin ⇒ \( A\) on kompakti.
(3) Olkoon \( X\) kompakti, \( A \subset X\) :
▻▻ \( A\) kompakti, joss ⇔ \( A\) suljettu.
– – –
Huom: suljettuus on relatiivinen käsite | kompaktius on absoluuttinen käsite.
– – –
(1) Olkoon \( A \subset \mathbb{ R}^n \) kompakti, joss ⇔ \( A\) on suljettu ja rajoitettu.
(2) Avaruuden X kompakti osajoukko on aina suljettu X:ssä.
(3) Kompakti metrinen avaruus on rajoitettu.
(4) \( (X, d)\) metrinen avaruus, \( A \subset X\) kompakti niin ⇒ \( A\) on rajoitettu ja suljettu.

Lause (funktiot)

(1) Jos \( X\) kompakti ja \( A \subset X\) ääretän, niin ⇒ joukolla \( A\) on kasautumipiste.
(2) Olkoon \( f: X \to Y\) jatkuva ja \( A \subset X\) kompakti, tällöin ⇒ \( f[A] \) on kompakti.
(3) Olkoon \( f:X \to \mathbb{ R} \) jatkuva ja \( A \subset X\) kompakti ja epätyhjä, tällöin ⇒ \( f|_A\) saa max and min A:ssa.
(4) \( A, B \subset X\) erillisiä joukkoja, \( A \) kompakti, \( B \) suljettu, tällöin ⇒ jollakin (for some) \( a \in A\) pätee \( 0 \lt d(A,B) = d (a,B)\) (5) Olkoon \( f:X \to Y\) jatkuva bijektio ja \( X\) kompakti, täällöin ⇒ \( f^{-1}\) on jatkuva.

Muut Lauset

▻▻ (Bolzano-Weierstrass )\( X\) kompakti, \( A \subset X\) ääretön, niin ⇒ A:lla on yksi kasautumispiste.
– – –
▻▻ \( f:X \to Y\) jatkuva, ja \( A \subset X\) kompakti, niin ⇒ \( f[ A ] \) on kompakti.
(eli. Kompaktin joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on kompakti.)
– – –
▻▻ \( f:X \to \mathbb{ R} \) jatkuva, ja \( X \neq \emptyset \) kompakti, niin ⇒ \( f\) saa \( X\) :ssä pienimmän ja suurimman arvonsa.
– – –
▻▻ (L15.17) Avaruuden \( \mathbb{ R}^n \) kaikki normit ovat keskenään bilipschitz-ekvivalentit.
▻▻ ▻▻ \( \exists c_1, c_2 \gt 0, \ c_1 ||x||_{(1)} \leq ||x||_{(2)} \leq c_2 ||x||_{(1)},\ \forall x \in \mathbb{ R}^n \) .
▻▻ ▻▻ Todistus: \( f := || \frac{ x}{ ||x||_{(1)}} ||_{(2)}\) .

*MA-Kertaus

Määritelmä: Avaruudet

Metrinen avaruus on pari \( (X,d)\) , missä \( X\) on joukko ja \( d\) on metriikka.
\( \textbf{Metriikka } d : \begin{cases} (1)\ d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) ;\\ (2)\ d(x,y) = d(y,x); \\ (3)\ d(x,y)=0 \text{ joss ⇔ } x=y.
\end{cases} \) .
Industoitu metriikka: \( (X,d)\) MA, ja \( A \subset X\) niin ⇒ \( (A, d_A)\) industoitu mertiikka, missä \( d_A = d |_{A \times A}\) .
Normiavaruus: \( (E, || \cdot ||)\) , missä \( d(x,y)= || x-y ||\) ;
Sisätuloavaruus: \( (E, \cdot) \) , missä \( ||x|| = (x \cdot x)^{\frac{ 1}{ 2} }\) ;
Esimerkkejä
▻▻ \( \mathbb{ R, R}^n \) MA normilla: \( ||x||_p = \big( \sum \limits_{ j=1}^{ n} x_j^p \big)^{\frac{ 1}{ p} } \) .
▻▻ {0,1}-Metriikka \( d_{ \{ 0,1 \} } (x,y) =\begin{cases} 1, &x \neq y\\ 0, &x = y
\end{cases} \)

Pallot

\( B(a,r) = \{ x \in X: d(x,a) \lt r\} \) \( \overline{B}(a,r) =\{ x \in X: d(x,a) \leq r\} \) \( S(a,r) = \{ x \in X: d(x,a) = r\} \) Joukkojen etäisyys: \( d(A,B) = \inf \{ d(a,b): a \in A, b\in B \}\) ;
Joukkojen läpimittä: \( d(A) = \sup \{ d(x,y): x,y \in A \}\) .

Kolmioepäyhtälö

\( d(x,z) + d (z,y) \geq d (x,y)\) ;
\( | d(x,z) – d (y,z) | \leq d (x,y)\) ;
\( | d(x,A) – d (y,A) | \leq d (x,y)\) ;

Avoin ja suljettu joukko

Avoin joukko: \( A \subset X\) avoin jos \( \forall\ x \in A,\ \exists\ r \gt 0: x \in B(x,r) \subset A\) .
Lause Avoimien joukkojen mielivaltainen yhdiste ja äärellinen leikkaus ovat avoimia.
Suljettu joukko: \( X \setminus A\) on avoin.
Lause Suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste ja mielivaltainen leikkaus ovat suljettuja.
Topologia: \( \mathcal{ T}_d =\{ A \subset X: A\ avoin \} \)

Ympäristö, pisteet ja sulkeuma

Ympäristö: \( U_x ⟃ X\) ; (Sopimus: \( U_x\) on pisteen \( x\) :n ympäristö )
Sisäpiste: \( \exists\ U_x ⟃ X: U \subset A\) ;
Ulkopiste: \( \exists\ U_x ⟃ X: U \subset (X \setminus A)\) ;
Reunapiste: ei sisä- eikä ulkopiste, eli \( \forall \ U_x\) kohtaa sekä \( A\) :n että \( ∁A\) :n;
Kasautumispiste: \( \forall\ U_x \in X,\ \ \exists\ y \in (A \bigcap U_x), \ \ y \neq x\) ;
Erakkopiste: \( U_x \bigcap A =\{ x\}\) ; niin \( x\) ei ole kasautumispiste .
Diskreetti joukko: \( \forall\ x \in A\) ovat erakkopistetiä.
Sulkeuma: \( \overline{ A} := \{ x \in X: x \text{:n jokainen ympäristö kohtaa } A \text{:n} \} \) Hausdorffin ehto: \( \exists\ U_x \bigcap U_y = \emptyset \) , eli eri pisteillä on erillaiset ympäristöt;
Lause MA toteuttaa Hausdorffin ehto.

Jonot

\( x_n \to x\) :
⇔ \( \forall\ \varepsilon \gt 0,\ \exists\ n_0:\ \ \ d(x_n,x) \lt \varepsilon \text{, kun }n \geq n_0 \) ;
⇔ \( \forall\ U_x , \ \exists\ n_0:\ \ \ x_n \in U_x \text{, kun }n \geq n_0 \) ;
⇔ \( d(x_n, x) \to 0\) ;
⇔ Joukon osajono \( x_{n_k} \to x\) ;
⇔ \( \forall\ U_x: \ \ \ x_{n_k} \in U_x\) äärettömän monella indeksillä.
\( (x_n)\) saa enintään yksi raja-arvo.

Jatkuva Funktio

Olkoon \( f:(X,d) \to (Y, d’)\) :
\( f\) on jatkuva pisteessä \( a\) :ssa :
⇔ \( \forall\ \varepsilon,\ \exists\ \delta: \ \ \ d’ \big( f(x), f(a) \big) \lt \varepsilon \text{ kun } d(x,a) \lt \delta \) ;
⇔ \( \forall\ \varepsilon,\ \exists\ \delta: \ \ \ f \big [ B(a, \delta) \big ] \subset B \big( f(a), \varepsilon \big) \) ;
⇔ \( \forall\ U_y, \ \exists\ U_x: \ \ \ f [U_x] \subset U_y\) ;
⇔ \( f(x_n) \to f(a)\) aina kun \( x_n \to a\) .
\( f\) on jatkuva funktio :
⇔ \( f^{-1} [V]\) aina avoin kun \( V \subset Y\) avoin;
⇔ \( f^{-1} [V]\) aina suljettu kun \( V \subset Y\) suljettu;
⇔ \( f(x_n) \to f(a)\) aina kun \( x_n \to a\) .
M-Lipschitz (jatkvua) kuvaus jos \( d’ \big( f(x_1), f(x_2) \leq M d(x_1, x_2)\big), \ \ \forall x_1,x_2,\ M \) on vakio .

Funktion Jono

\( f_n \to f\) pisteittäin jos \( f_n(x) \to f(x),\ \ \forall \ x\) ;
\( f_n \to f\) tasaisesti jos \( \sup \limits_{ x \in X}d’ \big( f_n(x), f(x)\big) \to 0 \) .
Lause \( f_n\) jatkuvia ja \( f_n \to f\) tasaisesti, niin ⇒ \( f\) jatkuva.

Täydellisyys

\( (x_n)\) on Cauchy-jono jos \( \forall\ \varepsilon \gt 0,\ \exists\ n_0:\ \ \ d(x_n,x_m) \lt \varepsilon \text{, kun } m,n \geq n_0 [latex] .
[latex] (X,d)\) täydellinen jos jokainen Cauchyn jono suppenee.
Lause \( (X,d)\) täydellinen ja \( A \subset X\) täydellinen ⇔ \( A\) suljettu.

Banachin kiintopistelause

\( f:X \to X\) kontraktio jos \( d \big( f(x), f(y) \big) \lt q \cdot d(x,y), \ \ \forall x,y\in X\ \text{ ja } 0 \leq q \lt 1\) .
\( f\) :llä on täsmälleen yksi kiintopiste \( a=f(a)\) .
Lukujono \( x_n = f(x_{n-1})\) suppenee kohti a:ta.
\( \lim\limits_{ n \to \infty} f^n (x) =a, \ \ \forall x \in X\)

Kompaktius

Sopimus: (X,d) MA.
\( A \subset X\) kompakti jos Jokaisella \( A\) :n jonolla on \( A\) :ssa suppeneva osajono.
Lause \( A \subset X\) kompakti ⇒ \( A\) on suljettu \( X\) :ssä.
Lause \( X\) kompakti, ja \( A \subset X\) suljettu ⇒ \( A\) kompakti.
Lause \( A \subset \mathbb{ R}^n \) kompakti ⇔ \( A\) rajoitettu ja suljettu.
Lause \( f:X \to Y\) jatkuva, ja \( A \subset X\) kompakti ⇒ \( f[ A ]\) kompakti.
Lause \( f:X \to \mathbb{ R} \) jatkuva, ja \( A \subset X\) kompakti ⇒ \( f\) saa X:ssä suurimman ja pienimmän arvonsa.

Topologinen avaruus / Topology spaces

Määritelmä

Määr 1.1 \( X\) joukko ja \( \mathcal{ T} \) kokoelma \( X\) :n osajoukkoja, ts. \( \mathcal{ T} \subset \mathcal{ P}(X) \) , \( \mathcal{ T} \) on \( X\) :n topologia jos:
(T1) \( \mathcal{ T} \) sisältää jäsentensä mielivaltaiset yhdisteet;
(T2) …ja ääärelliset leikkaukset;
(T3) \( \emptyset \in \mathcal{ T} , X \in \mathcal{ T} \) .
Huom ▻▻ \( U_j \in \mathcal{ T} , j \in J\) niin ⇒ \( \bigcup \limits_{ j\in J} U_j \in \mathcal{ T} \) ;
▻▻ \( U,V \in \mathcal{ T} \) niin ⇒ \( U \bigcap V \in \mathcal{ T} \) ;
▻▻ Jos \( J_1, J_2\ X\) :n topologioita ja \( J_1 \subset J_2\) , sanotaan, että \( J_1\) on karkeampi / coarser kuin \( J_2\) kuin \( J_2\) ja \( J_2\) on hienompi / finer kuin \( J_1\).
Esim 1.2 (1) \( J_{dis} = \mathcal{ P}(X) \) on diskreetti topologia. Se on X:n hienoin topologia, ja kaikki joukot avoimia.
(2) \( J_{mini} = \{ \emptyset, X \}\) minitopologia, on karkein X_n toplogy.
▻▻ X:n topologia toteutta \( J_{mini} \subset J \subset J_{dis}\) .
(3) \( (X,d) \) MA niin ⇒ \( (X, \mathcal{ T} _d)\) TA.
(4) Jos \( X = \mathbb{ R^n} \) , käytetään tavallista topologiaa \( J_{tav} = J_{d}\) ;
(5) Yksiössä ainoa topologia \( J=J_{mini}=J_{dis}\) ;
(6) Kaksion topologiat ovat, \( J_{mini}, \{ \emptyset, \{a\}, X\}, \{ \emptyset, \{b\}, X\}, J_{dis}\) ;
(7) Oikea järjestystopologia: \( X = \mathbb{ R}, \ \mathcal{ T} = \{\emptyset, \mathbb{ R} \} \bigcup \{ ] a, \infty [: a \in \mathbb{ R} \}\) ;
(8) Kofiniitti topologia : \( X \text{ joukko} , \ \mathcal{ T} _{kot} = \{ \emptyset \} \bigcup \{ U \subset X: X \setminus U \text{ äärellinen} \}\) .

Määritelmä (ympäristö, avoin, suljettu etc. TA:ssa)

Lause 1.3 X joukko. Jokainen metriikka \( d\) antaa topologian \( J_d\ X\) :ssä. Toisaalta jos \( \# X \geq 2,\ J_{mini}\) ei tule mistään metriikasta.
▻▻ \( J_{dis_n} = J_{d_{\{0,1\}}}\) . Sanotaan, että \( (X,J)\) metristyövä jos \( J=J_d\) jollekin metriikalle \( d\) .
Määr 1.4 Olkoon \( (X,J)\) TA,
▻▻ Pisteen ympäristö on avoin joukko \( U\subset X,\ x \in U\) ;
▻▻ Joukon ympäristö on avoin joukko \( U\subset X,\ A \subset U\) .
Lause 1.5 \( A \subset X\) avoin joss ⇔ \( \forall x \in A, \ \exists U_x: \ \ U_x \in A\).
Määr 1.6 TA on Hausdorff-avaruus jos eri pisteillä on erilliset ymäristöt.
Esim: MA ja \( (X, J_{dis})\) ovat, mutta \( (X, J_{mini})\) ei ole Hausdorff.
Määr 1.7 \( F \subset\) on suljettu , jos \( X\setminus F \) avoin.
Lause 1.8 suljettujen joukkojen mielivaltainen leikkaus ja äärellinen yhdiste ovat suljettuja.
Lause 1.9 Olkoon \( U \subset X\) avoin, \( F \subset X\) suljettu, niin ⇒ \( U \setminus F\) avoin, \( F \setminus U \) suljettu.
Määr 1.10 Sulkeuma_: \( \overline{ A} = \{ x \in X: x:n \text{ jokaiset ympäristöt leikkaa }A \text{:n} \} \) Kasautumispiste: \( \forall U_x, \ \exists\ y \in U_x \bigcap A,\ y \neq x\) ;
Erakkopiste: \( \exists\ U_x: U_x \bigcap A = \{x\}\) ;
Joukko A on diskreetti, jos sen kaikki pisteet ovat erkkopisteitä.
Lause 1.11 \( \overline{ A} = A \bigcup \{ kas.pisteet \} = \{erakkopisteet\}\bigcup\{kas.pisteet\}\).
Lause 1.12 \( A \subset \overline{ A}, \overline{ A} \) aina suljettu; \( A\) suljettu joss ⇔ \( A= \overline{ A} \).
Määr 1.13 Sisäpiste: \( \exists\ U_x \in A\) ;
Ulkopiste: \( \exists\ U_x \in X\setminus A\) ;
Reunapiste: ei sisä eikä ulkopiste.
Aina, \( X = intA \bigcup extA\bigcup \partial A\) .
Lause 1.14 \( \overline{ A}=A \bigcup \partial A \) , ja \( \partial A = \overline{ A} \bigcap \overline{ X \setminus A} \).
Määr 1.15 \( A\) on tiheä / dense avaruudessa X, jos \( \overline{ A}=X \)

Kanta / Base

Sopimus: \( (X, \mathcal{ T} )\) TA

Määritelmä

Määr 2.1 Olkoon \( \mathcal{ T} \) joukon topologia \( \mathcal{ B} \subset \mathcal{ P}(X) \) on topologian \( \mathcal{ T} \) kanta/basis jos:
(M1) \( \mathcal{ B} \subset \mathcal{ T} \) ;
(M2) \( \forall U \in \mathcal{ T}, U \neq \emptyset: \ \exists \) kannan \( \mathcal{ B} \) joidenkin jäsenten yhdiste.
▻▻ Kanta määrää topologian \( \mathcal{ T}= \{ U:U \text{ on } \mathcal{ B} \text{:n jäsenten yhdiste} \} \cup \{ \emptyset \} \) .
Esim 2.2 (kanta)
(1) \( \mathcal{ T} \) on oma kantansa;
(2) \( \mathcal{ T}_{dis}\) eräs kanta on \( \mathcal{ B} = \{ \{a\}:a\in X \}\) ;
(3) \( (X,d)\) MA, kantoja ovat:
▻▻ \( \mathcal{ B} =\{ B(x,r):x\in X, r\gt 0 \} \) ;
▻▻ \( \mathcal{ B}’ =\{ B(x, \frac{ 1}{ n} ): x\in X, n\in \mathbb{ N} \} \) .
Lause 2.4 \( \mathcal{ B} \subset \mathcal{ P}(X) \) on \( \mathcal{ T} \) :n kanta joss ⇔
(K1) \( \mathcal{ B} \subset \mathcal{ T} \) ;
(K2) \( U \in \mathcal{ T} \) niin ⇒ \( \forall x \in U: \exists B \in \mathcal{ B} \text{ jolle } x\in B \subset U\) .

Lause

Lause 2.5 Olk \( \mathcal{ B} \) kanta. Tällöin:
▻▻ \( U \in \mathcal{ T} \ \ ⇔ \ \ \forall x \in U: \exists B \in \mathcal{ B} \text{ jolle } x\in B \subset U\) Lause 2.9 Kantalause: \( \mathcal{ B} \) on joukon \( X\) kanta joss ⇔ :
(K1) \( \mathcal{ B} \) on joukon \( X\) peite;
(K2) \( B_1,B_2 \in \mathcal{ B} \) niin ⇒ \( \forall x \ \in B_1 \cap B_2, \exists B \in \mathcal{ B} : x \in B \subset B_1 \cap B_2\) .
Lause 2.12 Olk \( \mathcal{ T}_1, \mathcal{ T}_2 \) topologioita, joilla on kannat \( \mathcal{ B}_1, \mathcal{ B}_2 \) . Tällöin:
▻▻ \( \mathcal{ T}_1 \subset \mathcal{ T}_2 \ \ ⇔ \ \ \text{ jos } x\in B_1 \in \mathcal{ B}_1 \text{, niin } \exists B_2 \in \mathcal{ B}_2: x \in B_2 \subset B_1 \) .
▻▻ erityisesti, \( \mathcal{ B}_1 \subset \mathcal{ B}_2 ⇒ \mathcal{ T}_1 \subset \mathcal{ T}_2 \) .

Ympäristökanta

Määr 2.14 Kokelma \( \mathcal{ B}(x) \) pisteen \( x\) :n ympäristöjä on \( x\) :n ympäristökanta / basis for neighborhood jos \( \forall x\) :n ympäristö sisältää \( \mathcal{ B}(x) \) :n jäsenen/members.
Esim 2.15 (ympäristökanta)
(1) \( (X,d)\) MA, \( \mathcal{ B}_1 =\{ B(x,r): r\gt 0 \},\ \mathcal{ B}_2 =\{ B(x, \frac{ 1}{ n} ):n\in \mathbb{ N} \} \) . ovat \( x\) :n ympäristökantoja \( \mathcal{ T}_d \) :ssa;
(2) \( (X, \mathcal{ T}_{dis} ): \big\{ \{x\} \big\}\) on \( x\) :n ympäristökanta;
(3) Jos \( \mathcal{ B}\ \ (X, \mathcal{ T} ) \) :n kanta, niin \( \{ B: x \in B \in \mathcal{ B} \}\) on \( x\) :n eräs ympäristökanta.

Esikanta

Määr 2.16 \( \mathcal{ A} \) on \( \mathcal{ T} \) :n esikanta / pre-basis, jos \( \mathcal{ B}= \{ A_1\cap … \cap A_k: A_j \in \mathcal{ A},k \in \mathbb{ N} \} \) on \( \mathcal{ T} \) :n kanta.
Esim 2.17 (esikanta)
(1) kanta on myös esikanta;
(2) \( \mathcal{ A}=\{ ] -\infty,a [ ,\ ] a,\infty [ : a \in \mathbb{ R} \} \) on \( (\mathbb{ R}, \mathcal{ T}_{tavallisen} )\) :n esikanta;
(3) \( \big\{ \{(x,y): y \gt a\},\ \{(x,y): y\lt a\},\ \{(x,y): x\gt a\},\ \{(x,y): x \lt a\} : a \in \mathbb{ R} \big\}\) on \( (\mathbb{ R}^2, \mathcal{ T}_{tavallisen} )\) :n esikanta.
Lause 2.19 Jos \( \mathcal{ A} \) on \( X\) :n peite, niin ⇒
(1) \( \mathcal{ A} \) on \( X\) :n erään topologian \( \mathcal{ T}_\mathcal{ A} \) esikanta;
(2) \( \mathcal{ T}_\mathcal{ A} \) on karkein topologia, jossa \( \mathcal{ A} \) :n jäsenet ovat avoimia.

\( \mathcal{ A} \subset \mathcal{ P}(X) \) esikanta, jos \( \mathcal{ B} = \{ A_1 \bigcap … \bigcap A_k; A_j \in \mathcal{ A}, k \in \mathbb{ N} \} \) on kanta.
\( \mathcal{ B}(x) \) on x:n ympäristökanta jos \( \forall\) x:n ympäristö \( V, \exists B \in \mathcal{ B}(x): B \subset V \) .

Homeomorfismi / homeomorphism

Homeomorfismi ja upotus

Määr *9.2 Kuvaus \( f:X\to Y\) on homeomorfismi / homeomorphic jos:
(M1) \( f\) on bijektio;
(M2) \( f\) on jatkuva;
(M3) \( f^{-1}:Y \to X\) on jatkuva.
Lause *9.3 \( f\) on homeomorfismi joss ⇔ :
(M1) \( f\) on jatkuva bijektio;
(M2) \( f\) kuvaa avoimet joukot avoimiksi joukoiksi;
(M3) \( f\) kuvaa suljettut joukot suljettuiksi joukoiksi.
Määr *9.4 Kuvaus \( f:X \to Y\) on upotus / immersion , jos se määritelee homeomorfismin \( f_1:X \to fX\) ts.
(M1) \( f\) on bijektio;
(M2) \( f\) on jatkuva;
(M3) \( f_1^{-1}:fX \to X\) on jatkuva;
tai (M3) \( U ⟃ X ⇒ fU ⟃ fX\) (tai suljettut joukot).
Esim *9.5 (upotus kuvaus)
(1) Jos \( \Delta \subset \mathbb{ R} \) väli, niin ⇒ \( \forall \) jatkuva injektio \( f: \Delta \to \mathbb{ R} \) on upotus;
(2) Alueen invarianssi / area invariance Jos \( U ⟃ \mathbb{ R}^n, \ f:U \to \mathbb{ R}^n \) jatkuva injektio, niin ⇒ \( f\) on upotus ja \( fU ⟃ \mathbb{ R}^n \) ;
(3) Jos \( f:(X,d) \to (Y, d’)\) jatkuva injektio., \( X\) kompakti, niin ⇒ \( f\) on upotus.
Lause *9.13 \( f:(X, \mathcal{ T} ) \to (X, \mathcal{ T}’ )\) on homeomorfismi, joss ⇔ \( f\) on bijektio ja \( f[ \mathcal{ T} ] = \mathcal{ T’} \) , missä \( f[ \mathcal{ T} ]:= \{ f[ U ]: U \in \mathcal{ T} \}\) .
Lause *9.15 (Yleislause / General theorem) Homeomorfismi säilyttää kaikki topologian ominaisuudet. (preserves all topologic properties.)

Homeomorfismluokka

Määr *9.10 Jos \( X \sim Y\) , sanotaan \( X,Y\) kuuluvat saman homeomorfismiluokkaan / homeomorfism class .
Lause *9.7 Homeomorfisuus on ekvivalenssirelaatio topologisten avaruuksien luokassa. (homeomorphism forms an equivalence relation on the class of all topological spaces).
Lause *9.10 TA:t jakautuvat keskenään erillisiin homeomorfismiluokkiin (TA are divided into mutually different homeomorfism classes), ts:
▻▻ \( [ X ]= \{ Y \text{ on TA}: Y \sim X \}\) .
Esim 9.11 (homeomorfismiluokka)
(1) Kaikki \( \mathbb{ R} \) välit ovat keskenään homeomorfisia, sillä:
▻▻ \( f: ] a,b [ \to ] c,d [,\ \ \ f(x) = c+ \frac{ d-c}{ b-a} (x-a)\) on homeomorfismi;
(2) \( X\) on kaari / arc jos \( X \sim [ 0,1 ]\) ;
(3) \( X\) on Jordanian käyrä / Jodan curve jos \( X \sim S^1=\{ x \in \mathbb{ R}^2, ||x||=1 \}\) .

Jatkuva Kuvaus / Continous Map

Määr 3.1 Kuvuas \( f:(X, \mathcal{ T} ) \to (Y, \mathcal{ T} ‘)\) on jatkuva pisteessä \( a \in X\) , jos:
▻▻ \( \forall f(a)\text{:n ympäristö} V, \exists a \text{:n ympäristö } U:f[ U ] \subset V [latex] . ;
▻▻ [latex] f\) on jatkuva jos jatkuva kaikissa pisteissä.
Lause 3.2 \( f\) jatkuva, joss ⇔ jos \( A \subset X, a \in \overline{ A} \) , niin \( f(a) \in \overline{ f[ A ]} \) Määr 3.14 \( (x_n)\) topologin X:n jono. Sanotaan, että \( x_n \to a\) jos:
▻▻ \( \forall a \text{:n ympäristö } U,\exists n_0 \in \mathbb{ N}: x_n \in U \text{ kun } n \geq n_0 \) .
Huom (1) Jos X on hansdorff, niin ⇒ jonolla on korkeimlaan raja-arvo, mutta muuten voi olla usempia raja-arvoja;
(2) Jos X_ssä on mini topologia, niin ⇒ X:n mielivaltainen jono suppeneee kaikkiin pisteisiin;
(3) Jos f on jatkuva a:ssa ja \( x_n \to a\) , niin ⇒ \( f(x_n )\to f(a)\) . Käänteinen ei päde;
Lause 3.3 Olkoon \( f:X \to Y\) Seuraavat ovat yhtäpitävät:
(1) \( f\) jatkuva;
(2) \( V \subset Y\) avoin, niin ⇒ \( f^{-1} [ V ]\) avoin;
(3) \( F \subset Y\) suljettu, niin ⇒ \( f^{-1} [ F ]\) suljettu;
(4) \( f[ \overline{ A} ] \subset \overline{ f[ A ]} \) aina kun \( A \subset X\) ;
(5) Y:llä on kanta tai esikanta, jonka järenten alkukuvat avoimia.
Huom Jos \( f:(X,\mathcal{ T} ) \to (Y, \mathcal{ T}’ )\) jatkuva, niin ⇒ \( f:(X, \mathcal{ T}_1 )\to (Y, \mathcal{ T}’_2 )\) jatkuva kun \( \mathcal{ T} \subset \mathcal{ T}_1, \mathcal{ T}’_2 \subset \mathcal{ T}’ \) .
▻▻ (esim) \( f:X\to Y\) on aina jatkuva, jos X:ssa on diskreetti topologi tai Y:ssä on mini topologi.
Lause 3.7 Olkoot \( f,g:X \to Y \) jatkuvia, \( Y\) Hausdorff, niin ⇒ \( F=\{ x \in X: f(x)=g(x) \}\) suljettu X:ssä

Todistus: \( G=X \setminus F = \{ x \in X: f(x) \neq g(x)\}\) .
Valitaan a, \( f(a) \neq g(a)\) , Y Hausdorff ⇒ f(a):lla ja g(a):lla erilliset ymäristöt \( U, V\) ,
Nyt, \( W = f^{-1} [ U ] \bigcap g^{-1} [ U ]\) avoin, \( a \in W, W \subset G\) , koska:
\( x \in W ⇒ f(x) \in U, g(x) \in V ⇒ f(x) \neq g(x) ⇒ x \in G \) .

Määr 3.8 \( f:X \to Y \) on avoin kuvaus jos \( U \subset X \). avoin ⇒ \( fU \subset Y \) avoin. (Jokaisen avoimen joukon kuva on avoimen).
Määr 3.13 Kuvaus \( f \) on homeomorfismi jos:
(M1) \( f \) on bijektio;
(M2) \( f \) on jatkuva;
(M3) \( f^{-1} \) on jatkuva (eli. \( f \) on avoin tai suljettu kuvaus).
Määr 3.14 Jonon \( (x_n) \) suppenee kohti pistettä \( a\in X \) jos, jokaista a:n ympäristöä \( U,\ \ \exists n_0: x_n \in U \text{ kun } n \geq n_0 \).

Relatiivitopologia / Relative topology

Määr 5.1 Olk \( (X,\mathcal{ T} )\) TA ja \( A \subset X\) : Relatiivitopologia joukossa \( A\) on
▻▻ \( \mathcal{ T} |_A = \{ A \cap V:V \in \mathcal{ T} \}\) 。
Lause 5.2 \( \mathcal{ T}|_A \) on joukon \( A\) topologia.
Lause 5.3 \( U ⟃ A\) joss ⇔ \( U=A \cap V\) jollekin \( V ⟃ X\) .
Huom 5.4 \( (X,d)\) MA ja \( A \subset X\) , niin ⇒ \( \mathcal{ T}|_{d_A} = \mathcal{ T}_d|_A \) .
Lause 5.5 \( (X, \mathcal{ T} )\) TA, \( A \subset X\) :
(1) \( U ⟃ X\) ja \( U \subset A\) , niin ⇒ \( U ⟃ A\) ;
(2) \( U ⟃ A\) ja \( A ⟃ X \) , niin ⇒ \( U ⟃ X\) .
Lause 5.6 \( A \subset B \subset X\) , niin ⇒ \( (\mathcal{ T}|_B )|_A = \mathcal{ T}|_A \) .
Lause 5.9 \( A \subset X\) :
(1) \( E\) suljettu \( A\) :ssa, joss ⇔ \( E = A \cap F\) jollekin \( F: F \text{ suljettu } X\) :ssä;
(2) Jos \( E \subset A\) , niin ⇒ \( cl_A(E) = A \cap cl_X(E)\) ;
Lause 5.10 \( E\) suljettu \( A\) :ssä, \( A\) suljettu \( X\) ssä, niin ⇒ \( E\) suljettu \( X\) :ssä.

Jatkuvuus ja relatiivitopologia / Continuity and relative topology

Lause 5.11 Jos \( A \subset X\) , niin ⇒ inklunsiokuvaus \( j:A \to X, \ j(x)=x,\ \forall x \in A\) on jatkuva。
Lause 5.12 Olk \( A \subset X\) ja \( f:X\to Y\) jatkuva pisteessä \( a \in A\) . Tällöin \( f|_A:A \to Y \) on jatkuva pisteessä \( a\) :ssa.
Lause 5.13 Olk \( X=A_1 \cup … \cup A_k\) missä \( A_1,…,A_k\) suljettuja osajoukkoja, ja \( f:X\to Y\) kuvaus:
▻▻ \( f|_{A_j} \text{ jatkuva } \forall j\) niin ⇒ \( f\) jatkuva.
Lause 5.15 ( Maalin pienennys) Olk \( f:X\to Y, f[ X ] \subset B \subset Y\) , ja \( f_1:X \to B,\ f_1(x)=f(x), \ \forall x \in X\) . Tällöin:
▻▻ \( f\) jatkuva a:ssa ⇔ \( f_1\) jatkuva a:ssa.

Kuvaus perheen indusoima topologia / Topology induced by family of maps

Määr 6.1 \( X\) joukko:
▻▻ \( (Y_j)_{j \in J}\) perhe avaruuksia; \( (Y, \mathcal{ T}’_j ), \ (f_j)_{j \in J}\) kuvauksia \( f_j:X \to Y_j\) :
▻▻ Kuvausperheen \( (f_j)_{j \in J}\) joukkoon \( X\) indusoima topologia / induced topology on \( \mathcal{ A} = \{ f_j^{-1}[ V ]:j \in J,\ V \in \mathcal{ T}’_j \} \) .
Lause 6.2 Kuvausperheen indusoima topologia on X:n topologia, eräs kantaan:
▻▻ \( \mathcal{ B} =\{ \bigcap \limits_{ j\in K} f_j^{-1}[ V_j ]: K \subset J \text{ äärellinen}, V_j ⟃ Y_j \} \) .
Lause 6.3 Perheen \( (f_i)_{j\in J}\) indusoima topologia on karkein avaruuden \( X\) topologia, jonka suhteen jokainen \( f_j: X \to Y\) on jatkuva.
Esim 6.4 (perheen indusoima topologia)
(1) \( \mathcal{ T}|_A \) on yhden kuvauksen perheen \( (j)\) indusoima topologia joukossa \( A\) , missä \( j:A \to X\) inkluusiokuvaus.
(2) Olkoon \( (E, ||\cdot ||)\) normiavaruus. Duaaliavaruus / Dual space \( E^*=\{ T:E \to \mathbb{ R}: T \text{ on jatkuva ja lineaarinen} \}\) .
▻▻ Avaruuden \( E\) heikko topologia \( \mathcal{ T}_w \) on kuvausperheen \( E^*\) joukkoon \( E\) indusoima topologia.
▻▻ ts. \( \mathcal{ T}_w \) on karkein joukon \( E\) topologia, jossa jokainen \( T \in E ^*\) . on jatkuva.
Lause 6.5 ( universaalisuus ) Olkoon \( X\) joukko ja \( (f_j)_{j \in J}\) perhe kuvauksia \( f_j:X \to Y_j\) , missä \( (Y_j, \mathcal{ T}_j )\) TA.
Tällöin perheen \( (f_j)\) indusoima \( X\) :n topologia \( \mathcal{ T} \) on ainoa \( X\) :n topologia, jolle:
▻▻ Jos \( (Z, \mathcal{ T}’ )\) TA ja \( g:Z \to X\) . Tällöin \( g\) on jatkuva joss ⇔ \( f_j \circ g\) on jatkuva \( \forall j \in J\) .
Lause 6.6 ( Transitiivisuus ) Jos \( X \overset{f_j}{ \to } Y_j \overset{g_{jk}}{\to}Z_{jk}\) , niin ⇒ \( (g_{jk})\) indusoi \( Y_j\) :hin topolgian (indusoima indusoima topologia) on sama kui \( (g_{jk} \circ f_j)\) indusoima topologia.
Lause 6.8 Olk \( f_j:X \to Y_j\) indusoima topologia. \( Y_j\) :n esikanta \( \mathcal{ A}_j \) ja kanta \( \mathcal{ B}_j \) . Tällöin:
▻▻ \( f_j^{-1}A, \ A \in \mathcal{ A_j} \) on \( X\) :n esikanta;
▻▻ \( \bigcap \limits_{ j\in K} f_j^{-1}B_j, \ B_j \in \mathcal{ B}_j, \ K \subset J \) äärellinen, on \( X\) :n kanta.
Lause 6.9 \( x_n \to a\) joss ⇔ \( f_j(x_n) \to f_j (a), \ \forall j \in J \)

Tulotopologia / Product Topology

Määr 7.1 Olk \( X = X_1 \times … \times X_n\) (karteesisen tulon), sen (äärellinen) tulotopologia (product topology on:
▻▻ \( \mathcal{ B} = \{ U_1 \times … \times U_n: U_j ⟃ X_j\} \) .
▻▻ Projectktiot \( pr_j:X \to X_j, \ 1\leq j \leq n\) , niin \( U_1 \times … \times U_n= \bigcap \limits_{ j=1}^{ n} pr_j^{-1} U_j \) ;
▻▻ ▻▻ siis, eräs esikanta on \( \mathcal{ A} = \{ pr_j^{-1}U: U ⟃ X_j, \ 1 \leq j \leq n \} \) .
Määr 7.5 (Yleinen) tulotopologia \( \mathcal{ T} \) määrä mikä tahansa seuraavista ehdoista:
(a) \( \mathcal{ T} \) on karkein/coarest niistä \( X\) :n topologoista, joiden suhteen \( \forall j: pr_j:X \to X_j\) on jatkuva;
(b) \( \mathcal{ T} \) :n esikannan muodostavat \( pr_j^{-1}V,\ V ⟃ X_j\) ;
(c) \( \mathcal{ T} \) :n kannan muodostavat joukot \( B= \bigcap \limits_{ j=1}^{ n} pr_j^{-1} U_j\) , missä \( V_j ⟃ X_j, \ K \subset J\) äärellinen.
Lause 7.6 Olkoon \( U\) avoin joukko tuloavaruudessa X:
▻▻ Jos \( U \neq \emptyset\) niin ⇒ \( pr_jU =X_j\) ,
Määr 7.9 Olk \( X, \ Y=\prod \limits_{ j\in J}Y_j,\ f:X\to Y\) , sen komponenttikuvaukset / component maps on \( f_j = pr_j \circ f:X \to Y_j\) .
Huom Karteesinen tulokuvuas \( f \times g : X\times Y \to X’ \times Y’\) , missä \( (f \times g )(x,y) = (f(x), g(y))\) , ja sitten sen komponenttikuvaukset on (\( pr_j’\) on \( X’ \times Y’\) projectktiot ):
▻▻ \( pr_1′ \circ (f \times g) = f \circ pr_1, \ \ \ pr_2′ \circ (f \times g) = fg\circ pr_2\) .
Lause 7.10 \( f:X \to \prod \limits_{ j \in J}Y_j\) on jatkuva, joss ⇔ jokainen componenttikuvaus \( f_j:X \to Y_j\) on jatkuva.
Lause 7.13 Olk \( X = \prod \limits_{ j \in J}X_j\) . Tällöin \( x_n \to a\) joss ⇔ \( pr_j(x_n) \to a, \ \forall j \in J\) .
Lause 7.14 Olk \( X = \prod \limits_{ j \in J}X_j,\ A_j \subset X_j, \ A = \prod \limits_{ j \in J}A_j \subset X\) Tällöin:
(1) \( A\) :n tulotopologia on sama kuin sen relatiivitopologia \( X\) :ssä;
(2) \( \overline{ A} = \prod \limits_{ j \in J} \overline{ A_j} \) ;
(3) \( \forall A_j\) suljettu, niin ⇒ \( A\) on suljettu.
Huom 7.15 avointen joukkojen tulo ei aina ole avoin. Se on avoin jos kyseessä äärellinen tulo.
Esim 7.18 Cantorin 1/3 joukko
Saadaan välistä \( I=[ 0,1 ] \subset \mathbb{ R} \) , poistamalla keskimmäisiä kolmeneksia:
▻▻ \( C_0 = [ 0,1 ]\) ;
▻▻ \( C_1 = [ 0, \frac{ 1}{ 3} ] \cup [ \frac{ 2}{ 3},1 ]\) ;
▻▻ \( C_{n+1}= \frac{ 1}{ 3}C_n \cup (\frac{ 2}{ 3}+ \frac{ 1}{ 3} C_n ) \) .
Cantor in joukko on \( C = \bigcap \limits_{ n=1}^{ \infty} C_n \) [/su_spoiler]

Metristyvät avaruudet

Määr 10.1 TA \( (X, \mathcal{ T} )\) on metristyvä, jos \( \exists\ X\) :n metrikka \( d\) , jolle \( \mathcal{ T}=\mathcal{ T}_d \) Huom 10.2 Metistyvyys:
▻▻ on perinmallinen ominaisuus: jos \( X\) on metristyvä ja \( a \subset X \) , niin ⇒ A on metristyvä;
▻▻ on topologinen ominnaisuus, jos \( X\) metristyvä ja \( X ≈ Y\) , niin ⇒ Y on metristyvä;
▻▻ säilyy numeroituvissa tuloissa;
▻▻ ei säily yleisiss’ tuloissa
Lause 10.3 Metristyvien avaruuksien numeroituva tulo on metristyvä.
Esim 10.4 Hibertin kuntio \( I ^\mathbb{ N} \) on metristyvä, samoin \( \{0,1 \}^\mathbb{ N}, \mathbb{ R}^\mathbb{ R} \) EI ole metristyvä.
Lause 10.8 Bairen lause 1 \( (X,d)\) täydellinen MA. Jos \( (G_j)_{j=1}^\infty\) jono X:n avoimia tiheitä osajoukkoja, niin ⇒ \( G = \bigcap \limits_{ j=1}^{ \infty} G_j\) on tiheä.

Todistus: Olkoon \( U ⟃ X,\ U \neq \emptyset\) . Riittää osoita, että \( G \cap U \neq \emptyset\) :
\( G_1\) tiheä ⇒ \( \exists x_1 \in G_1 \cap U \text{ ja } r_1 \lt 1: \overline{ B(x_1,r_1)} \subset G\cap U \) ,
\( G_2\) tiheä ⇒ \( \exists x_2 \in G_2 \cap U \text{ ja } r_2 \lt \frac{ 1}{ 2} : \overline{ B(x_2,r_2)} \subset G\cap B (x_1,r_1)\) ,

\( G_n\) tiheä ⇒ \( \exists x_n \in G_n \cap U \text{ ja } r_n \lt \frac{ 1}{ n} : \overline{ B(x_n,r_n)} \subset G\cap B (x_{n-1}, r_{n-1})\) ;
Kun \( m \geq n\) ,
jono \( (x_n)\) , jolle \( x_m \in B (x_n, r_n)\) ,
⇒ \( d (x_m, x_n) \lt r_n \lt \frac{ 1}{ n} \) ,
⇒ \( (x_n)\) Cauchy, ja \( x_n\to x \in X\) .
Toisaalta \( x_m \in \overline{ B(x_n, r_n)} \) ,
⇒ \( x \in \overline{ B(x_n, r_n)}, \ \ \forall n \) ,
⇒ \( x \in G\) . Lisäksi \( x \in \overline{ B(x,r)}, \ \ x \in G \cap U \) .

Määr (harva ja laiha)
▻▻ \( A \subset X\) on harva / nowhere dense, jos \( int(\overline{ A} )= \emptyset\) ;
▻▻ \( A \subset X\) on laiha tai I-kategorian / meagre or first category, jos se on harvojen joukkojen numeroituva yhdiste.
Lause 10.9 Bairen lause 2 \( (X,d)\) täydellinen MA, \( A \subset X\) laiha, niin ⇒ \( int(A) = \emptyset\) , ts. \( X\setminus A\) tiheä.
Lause 10.10 Olk \( X\) numeroituva täydellinen MA, niin ⇒ \( X\) :ssä on erakkopiste.
Esim 10.11 (Bairen lause sovelluksia)
(1) \( \mathbb{ R} \) on ylinumeroituva, samoin Cartonin 1/3-joukko;
(2) Funktionaalianalyysin avoimen kuvauksen / suljetun graafin / tasaisen rajoitaksen lauseet.
(3) \( \exists \text{ jatkuva } f:[ 0,1 ] \to \mathbb{ R} \) , joka ei ole missän derivoituva.

You must be logged in to post a comment.