# (Report) Binomial Option Pricing – Matlab

Based on Stochastic Simulation
Yan PAN, December 2015
Harjoitukset / Exercise Sheet (Eija Laukkarinen)

## 1. Introduction

This short paper explains my simple implementation of Binomial Option Pricing Model with regards to the course assignment. The application used in this assignment is Matlab R2015a under license from University of Jyväskylä. As the computer simulation is not a huge task in terms of CPU-time workload, the code is not sufficiently optimized for performance, but tried to improve user experience and code simplicity.
A small note about Matlab and the BOPM is that there does exist a unique Matlab command named binprice which can solve the most common problems. However, the command is avoided in this assignment in order to establish better understanding of stochastic process and the use of software. (the following codes usually omits value assignment part).

## 2. Proof of $$p$$

This part will show the condition $$p=\frac{ b}{ b-a}$$ that makes the assertion holds: $$\mathbb{ E} [ { S_t}/{ S_{t-1}} ]=1$$ .
Proof:
$$\mathbb{ E} \frac{ S_t}{ S_{t-1}} = \mathbb{ E} \frac{ S_0 \prod \limits_{ i=1}^{ t} (1+Y_i) }{ S_0 \prod \limits_{ i=1}^{ t-1} (1+Y_i)} = \mathbb{ E} [ 1+Y_t ] = 1 + \mathbb{ E}Y_t =1$$ ;
Here, suffice to derive the condition that makes $$\mathbb{ E} Y_t =0,\ \forall t>0$$ ;
It is quite obvious that $$\mathbb{ E}Y_t = pa + (1-p)b =1$$ , solving for $$p$$ , and therfore we get $$p= \frac{ b}{ b-a}$$ .

## 3. Short introduction to coding

The option pricing model is centered with the function bopmsim, which is a separated script. The function requires 6 parameters and returns 2 matrix results.

parameters explanation
a the decreasing rate, requires -1 to 0
b the increasing rate, requires greater than 0, but should be small
s0 the initial/current stock price, requires greater than 0
K strike price, requires greater than 0, but should be close to s0
maxT the time period, requires a positive integer; in many cases, should be large
n specify how many trials to be conducted, requires a positive integer
returns explanation
S a $$maxT \times n$$ matrix, contains every single time stock price with regards to the simulation trial
C a $$maxT \times n$$ matrix, contains every single time option value with regards to the simulation trial

It should be reminded that the probability of “increasing or decreasing” in stock price is constrained by the condition $$\mathbb{ E} [ { S_t}/{ S_{t-1}} ]=1$$ , and in the coding, the probability is calculated through parameter $$a \text{ and } b$$ .

    function [S, C] = bopmsim (a,b, s0, K, maxT, n)
S = zeros(maxT,n);
C = zeros(maxT,n);
Y = zeros(maxT,n);
p = b / (b-a);                              % calculate p based on a,b
for i = 1:n
for t = 1:maxT
flag = binornd(1,p);                % a random variable=1 with p
Y(t,i) = 1+flag*a + (1-flag) *b;    % plus 1 already;
S(t,i) = s0 * prod(Y(1:t,i));       % generate stock price
C(t,i) = max(S(t,i)-K,0);           % generate correspoding option value
end
end
end

## 4. Graph of option prices

In the coding attached, it is possible to generate two types of graphs that describe the potential paths of option value ($$C_t$$ ).

The coding is quite relaxing, because of the automatic coloring for graphing matrix provided by Matlab.
For graph 1:

    [S,C] = bopmsim(a,b,s0, K, maxT, n);
for i =1:n
hold on
plot(C(1:maxT,i));
title ('Option value with fixed a and b (T=100, s0=100, K=80, simulated 10times)')
end


For graph 2:

    for i = 1:10
a(i)=- 0.3*rand();
b(i)= 0.3*rand();
[S , C] = bopmsim(a(i),b(i),s0,K,maxT,1);

%ploting
lstr{i,1}= strcat('a=',num2str(a(i),2),'; b=',num2str(b(i),2));
hold on
plot(C);
legend(lstr{1:i});
i=i+1;
title('Option value with random a and b (T=100, s0=100, K=80, simulated once each)');

end


Some observations:
1) Stock price can vary extremely quite common, and result in the high value of option.
2) Compared with different market condition (picture 2, with different increase/decrease percentage), the fluctuation of a given condition is still quite strong.
3) The potentially highest value is not constrained, in some extreme trial, the option value went up to thousands.
4) Although difficult to observe, the majority value is close to zero.
Consequently, we can conclude from the graph that “option” can sometimes an important and welcomed financial tool, in terms of risk avoidance.

## 5. Estimation of fair option price

The fair option price is based on large simulation samples on given condition. The financial condition setting is:

$$a=-0.15;\ \ b=0.12;\ \ s_0 = 100;\ \ K = 80$$

and the simulation setting is:

$$T:=maxT=300; \ \ n=600$$

The estimation is concerned with the expectation (in this case, the median value) of 600 trials of $$C_{300}$$ ;
Result: $$\mathbb{ E}C_{300} ≈43.09$$ .
This histogram of natural logarithm of stock price is as following:

code:

    [S , C] = bopmsim(a,b,s0,K,maxT,n);
C0 = mean (C(maxT,1:n));
logh= log(S(maxT, 1:n))-log(s0);
histogram (logh);


# Todennäköisyysmitta ja -funktio / Probability measure and function

## Määritelmä

Määr Tn.mitta : $$\mathbb{ P}: \mathcal{ F} \to \mathbb{ R}$$ , missä $$\mathcal{ F}$$ on sigma-algebra, jolle:
(1) $$\mathbb{ P}(A) \geq 0$$ ;
(2) $$\mathbb{ P}( \bigcup \limits_{ i \in I} A_i) = \sum \limits_{ i \in I} \mathbb{ P}(A_i)$$ ;
(3) $$\mathbb{ P}(\Omega) =1$$ .
Määr Tn.funktio $$P: \Omega \to \mathbb{ R}$$ , jolle:
(1) $$P(\omega) \geq 0$$ ;
(2) $$\sum \limits_{ \omega \in \Omega} P(\omega) =1$$ .
Esim Tasajakauma (equal distribution): $$P(\omega) = \frac{ 1}{ n}$$ äärellisessa joukossa ;
Geometrinen jakauma (distribution): $$P(\omega) = (1-p)^\omega p$$ ;
Poisoning jakauma: $$P(\omega) = e^{- \lambda} \frac{ \lambda^\omega}{ \omega !}$$ ▻▻ Tod: $$\sum \limits_{ \omega \in \Omega} P(\omega) = e^{-\lambda}\underbrace{\sum \limits_{ \omega =0}^{ \infty} \frac{ \lambda^\omega}{ \omega !}}_{Taylor} = e^{-\lambda} e ^\lambda =1$$ ; ja $$P(\omega) \gt 0$$

## Tn-funktion ja tn-mitan vastaavuus

$$\mathbb{ P}(A) = \sum \limits_{ \omega \in A} P (\omega),\ A \subset \Omega$$ ;
$$P(\omega) = \mathbb{ P}(\{ \omega \})$$ ;
Kuuvaukset $$P \to \mathbb{ P}, \mathbb{ P} \to P$$ muodostavat yksi yhteen.

## Tn-funktioden tulo

Tulojoukko: $$\Omega = \Omega_1 \times … \times \Omega_n:=\{ (\omega_1,…,\omega_n), \omega_1 \in \Omega_1, …, \omega_n \in \Omega_n \}$$ ;
Tn-funktioden tulo: $$(P_1 \times… \times P_n)(\omega) = P_1(\omega_1)…P_n(\omega_n)$$ ;
Lause Tn-funktioden tulo $$P$$ on tn-funktio tulojokossa $$\Omega$$ :ssa.

# Satunnaismuuttuja / Random variables

Sopimus: $$(\Omega, P)$$ diskreetti tn-avaruus.

## Satunnaismuuttuja tila-avaruus

Määr Diskreetti todennäköisyysavaruus on pari $$(\Omega, P)$$ , missä $$\Omega$$ on numeroituva otosavaruus (sample space) ja $$P$$ tn-funktio.;
Määr Satunnaismuuttuja / random variable on kuvaus $$X: \Omega \to S$$ , missä $$S$$ kutsutaan tila-avaruus .
▻▻ santunaisluku: tila-avaruus on $$\mathbb{ R}$$ .
▻▻ satunnainen kokonaisluku: tila-avaruus on $$\mathbb{ Z}$$ .
▻▻ satunnaisvektori: tila-avaruus on $$S^n$$ .

## Satunnismuutujan jakauma

Määr (lyhennysmerkitää) $$\{ X=s\}=\{ \omega \in \Omega: X(\omega)=s \}$$ tai $$\{ X\in A\}=\{ \omega \in \Omega: X(\omega)\in A \}$$ .
▻▻ Käytetään alkukuva $$\mathbb{ P}(X \in A) = \mathbb{ P}(X^{-1}(A))$$ .
Määr $$X:\Omega \to S$$ jakauma / distribution on kuvaus $$P_X :S \to \mathbb{ R}$$ :
▻▻ $$P_X (s) = \mathbb{ P}(\{ \omega \in \Omega: X(\omega) = s \}) = \sum \limits_{ \omega: X(\omega)=s}P(\omega), \ \ \ s \in S$$ ;
Lause Jakauma on tila-avaruuden tn-funktio:
▻▻ $$P_X (s) = \sum \limits_{ \omega: X(\omega)=s}P(\omega), \ \ \ s \in S$$ ;
▻▻ $$\mathbb{ P}(X \in A) = \sum \limits_{ s \in A } P_X (s), \ \ \ \forall A \subset S$$ .

## Satunnaismuuttujan muunnoksen jakauma

Olkoon $$X: \Omega \to S$$ satunnaismuutuja ja $$f:S \to T$$ funktio, tällöin $$f(X): \Omega \to T$$ . ja
▻▻ $$\big( f(X) \big)(\omega) = f \big( X(\omega)\big)$$ .
Lause Jakauma $$P_{f(X)}(t)= \sum \limits_{ s:f(s)=t} P_X (s)$$ .
▻▻ Jos f on bijektio, $$P_{f(X)}(t)=P_X \big( f^{-1} (t)\big)$$ .

# Riippuvuus ja riippumattomuus / Independence

## Tulojoukon jakauman reunajakaumat

Määr Olkoon $$S=S_1 \times … \times S_n$$ tulojoukko ja $$\mu$$ sen jakauma (eli tn-funktio), i:s reunajakauma / marginal distribution on:
▻▻ $$\mu_i (s_i) = \sum \limits_{ t \in S: t_i = s_i} \mu (t)$$ .
▻▻ $$\mu_i \text{ on } S_i$$ :n tn-funktio.

## Satunnaisvektorin reunajakaumat

Olkoon $$S=S_1 \times … \times S_n$$ tulojoukko, $$X:\Omega \to S$$ satunnaisvektroi ja $$X_i$$ i:s komponentti, siis $$X(\omega)= (X_1(\omega),…,X_n(\omega))$$.
Lause i:nnen komponentin jakauma on X:n jakauman i:s reunajakuma, eli:
▻▻ $$P_{X_i}(s_i) = \sum \limits_{ t \in S: t_i =s_i} P_X (t)$$ .

## Riipumattomat satunnaismuuttuja

Määr $$X_1,…,X_n$$ ovat riipumattomat / independent jos $$\mathbb{ P}(X_1 \in A_1,…, X_n \in A_n) = \mathbb{ P}(X_1 \in A_1) \cdot \cdot \cdot \mathbb{ P}(X_n \in A_n)$$ .
Lause Seuraavat ovat yhtäpitäviä:
(1) $$X_1,…, X_n$$ ovat riippumattomat;
(2) $$\forall s_1 \in S_1, …, s_n \in S_n: \mathbb{ P}(X_1=s_1,…,X_n=s_n)= \mathbb{ P}(X_1=s_1) \cdot \cdot \cdot \mathbb{ P}(X_n=s_n)$$ ;
(3) Satunnaisvektorin jakauma on komponenttiensa jakaumien tulo, eli $$P_X = P_{X_1} \times … \times P_{X_n}$$ .

## Riipumattomien satunnaismuuttujien olemassaolo

Lause Olkoon $$\mu_i$$ numeroituvan avaruuden $$S_i$$ tn-funktion, tällöin $$\exists (\Omega, P ), \ \ \ X_i:\Omega \to S_i$$ , joille pätee:
(1) $$X_i$$ nuodattaa jakaumaa $$\mu_i$$ ;
(2) $$X_1,…,X_n$$ ovat keskenään riippumattomat.

## Riippumattomuuden säilyminen

Olkoot $$X:\Omega \to S_1,\ \ Y:\Omega \to S_2$$ ja mielivatavat funktiot $$f:S_1 \to T_1, \ \ g:S_2 \to T_2$$ :
Lause $$X ⫫ Y \Rightarrow f(X) ⫫ g(Y)$$ .

## Ehdollinen todennäköisyys

Määr tapahtuman ehdollinen todennäköisyys / conditional probability : $$\mathbb{ P}(B | A) = \frac{ \mathbb{ P}(A \cap B) }{ \mathbb{ P}(A) }$$ .

# Odotusarvo / Expectation

## Satunnaisluvun odotusarvo

Määr Odotusarvo / Expectation $$\mathbb{ E} X = \sum \limits_{ \omega \in \Omega} X (\omega) P (\omega)$$ .
Huom Reaaliarvoisella satunnaisluvulla $$X: \Omega \to S \subset \mathbb{ R}$$ on odotusarvo jos $$\mathbb{ E} |X| = \sum \limits_{ \omega \in \Omega} |X (\omega)| P (\omega) \lt \infty$$ .
Lause Jokaisella rajoitetulla satunnaisluvulla on odotusarvo.
Lause Olk $$X: \Omega \to S \subset \mathbb{ R}$$ jakaumanaan $$P_X$$ , niin ⇒ $$\mathbb{ E}X = \sum \limits_{ s \in S} s P_X (s)$$ .

## Satunnaismuuttujan muunnoksen odotusarvo

Lause $$\mathbb{ E}f(X) = \sum \limits_{ s \in S} f(s) P_X (s)$$ .

## Odotusarvon lineaarisuus ja monotonisuus

Lause Olkoot $$X,Y$$ reaaliarvoisia satunnaislukuja:
(1) $$\mathbb{ E} (aX+bY) = a\mathbb{ E}X + b \mathbb{ E}Y, \ \ \ \forall a,b \in \mathbb{ R}$$ ;
(2) $$X \leq Y ⇒ \mathbb{ E}X \leq \mathbb{ E}Y$$ .

## Riippumattoman tulon odotusarvo

Lause $$X ⫫ Y$$ niin ⇒ $$\mathbb{ E}[ XY ] = \mathbb{ E}X \ \mathbb{ E}Y$$ .

# Stokastinen simulointi / Stochastic simulation

## Diskreetin jakauman simulointi ihanteellisella satunnaisjonolla

Olkoon $$\mu$$ jonkin tn-funktio numeroituvasti otosavaruudella $$S$$ .

Lause 5.2 Jos $$S$$ on äärellinen tai numeroituvasti ääretön, niin ⇒ satunnaismuuttujat $$X_i = \phi (U_i)$$ ovat riippumattomia ja noudattavat jakaumaa $$\mu$$ ., missä:
▻▻ $$\phi:[ 0,1 ]\to S,\ \phi(u)=\begin{cases}s_1, &u \in [ 0,t_1 ],\\ s_2, &u \in ( t_1,t_2 ],\\ …\\ s_k, &u \in ( t_{k-1},k_n ],\\ … \end{cases}$$ ;
▻▻ ja $$t_k = \mu(s_1)+…+\mu(s_k)$$ .

## Pseudosatunaislukugeneraattorit (Pseudo random number generator)

Olkoot jonoa $$(u_1, u_2,…)$$ , satunnaisjonoa $$(U_1, U_2, …)$$ :
Tyypillinen pseudosatunnaislukugeneraattori kuvaa kolmikkona $$(S,f,g)$$ missä:
▻▻ $$S$$ sisäinen tila-avaruus;
▻▻ $$f:S \to S$$ sekoitusfunktio (mixing function);
▻▻ $$g:S\to [ 0,1 ]$$ palautusfunktio (return function).
Algorithm otta syötteekseen siemenluvun (seed) $$z_0 \in S$$ ,
sitten laskee tilat $$z_1=f(z_0), z_2=f(z_1)…$$ ja palauttaa luvut $$u_1=g(z_1), u_2=g(z_2)….$$ .
Esim 5.3 (Middle square)
$$S=\{0,1,…,9999\},\ f(z)= \lfloor{\frac{ z^2}{ 100} }\rfloor \text{ mod } 10000,\ g(z)=\frac{ z}{ 10000}$$.

# Satunnaisluvun keskittyminen / Concentration

## Satunnaisvaihtelun kvantifiointi (Random variation quantification)

Lause 6.1 Olkoon $$X$$ jokin satunnaisluku, jolla on odotusarvo $$m= \mathbb{ E}X$$ ja jakauma $$P_X$$ numeroituvalla tila-avaruudella $$S \subset \mathbb{ R}$$ . Tällöin:
▻▻ $$Var(X) = \sum \limits_{ s\in S} (s-m)^2 P_X(s)$$ .
Lause 6.2 $$X,Y$$ satunnaislukuja:
(1) $$Var(1)=0$$ ;
(2) $$Var(aX) = a^2 Var(X)$$ ;
(3) Jos $$X ⫫ Y:\ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$$ .

## Keskittymisepäyhtälöitä (Concentration inequalities)

Lause 6.4 ( Markovin epäyhtölä ) Olkoon $$X$$ positiivinen satunnaisluku, niin $$\mathbb{ P}(X\gt a) \leq \frac{ \mathbb{ E}X }{ a}, \ \forall a \gt 0$$ .
Lause 6.5 ( Chebyshevin epäyhtälö ) Olkoon $$X$$ reaaliarvoinen satunnaisluku, jolla on odotusarvo, niin $$\mathbb{ P}(|X-\mathbb{ E}X | \gt \varepsilon) \leq \frac{ Var(X)}{ \varepsilon^2}$$ .

# Suurten lukujen laki / Law of large numbers

## Stokastinen suppeneminen

Määr 7.0 Olkoon $$(\Omega, \mathcal{ F}, \mathbb{ P} ),\ Z:\Omega \to \mathbb{ R} \text{ ja } Z_1,Z_2,….\Omega \to \mathbb{ R}$$ satunnaismuuttujia. Sanotaan, että jono $$(Z_n)_{n=1}^\infty$$ :
▻▻ suppenee otoksittain/kaikkialla/varmasti $$Z_n {\to } Z$$, jos $$\lim\limits_{ n \to \infty} Z_n(\omega) = Z(\omega),\ \ \forall \omega \in \Omega$$;
▻▻ suppenee melkein varmasti $$Z_n \overset{m.v.}{\to } Z$$, jos $$\mathbb{ P} \big( \{\omega\in \Omega: \lim\limits_{ n \to \infty}Z_n(\omega) = Z(\omega) \}\big)=1$$;
▻▻ suppenee stokastisesti $$Z_n \overset{\mathbb{ P} }{\to } Z$$, jos $$\forall \varepsilon \gt 0 : \ \mathbb{ P} \big( \{\omega\in \Omega: |Z_n(\omega) – Z(\omega)| \gt \varepsilon \}\big)=1$$;
Lause 7.1 $$Z_n {\to } Z$$ ⇒ $$Z_n \overset{m.v.}{\to } Z$$ ⇒ $$Z_n \overset{\mathbb{ P} }{\to } Z$$ Lause 7.2 Diskreetissä todennäköisyysavaruudessa: $$Z_n \overset{m.v. }{\to } Z$$, joss ⇔ $$Z_n \overset{\mathbb{ P} }{\to } Z$$

## Heikko suurten lukujen laki

Lause 7.3 Olkoot $$X_1,X_2$$ riippumattomia satunnaislukuja, jotka noudattavat samaa jakaumaa, jolla on odotusarvo ja $$Var(X)\lt \infty$$ . Tällöin:
▻▻ $$\mathbb{ P} \bigg( \bigg| \frac{ X_1+ \dots +X_n}{ n}-\mathbb{ E}X \bigg|\gt \varepsilon \bigg) \leq \frac{ Var(X)}{ \varepsilon^2 n}$$ ;
▻▻ lisäksi, $$\frac{ X_1+ \dots +X_n}{n } \overset{\mathbb{ P} }{\to } \mathbb{ E}X$$.

## Mote Carlo -simulointi

Määr 7.4 Empiirinen jakauma on tn-funktio $$\mu_n : S \to \mathbb{ R},\ \ \ \mu_n(s) =\frac{ 1}{ n} \sum \limits_{ i=1}^{ n} ?_{ \{X_i =s\}}$$.
Lause 7.5 $$\mu_n(s) \overset{\mathbb{ P} }{\to } P_X (s) \text{ , kun } n \to \infty$$

# Todennäköisyydet generoiva funktio / Probability generation function

Määr 9.1 Todennäkösyydet generoiva funktio/tng-funktio on $$G_X(t) = \mathbb{ E} t^X = \sum \limits_{ k=0}^{ \infty} t^k P_X (k)$$ .
Lause 9.2 Olkoon positiivist lukujonoa $$(a_0,a_1,\dots) \text{ ja potenssisarja } G(t) = \sum \limits_{ k=0}^{ \infty} a_k t^k$$:
(1) $$\exists R \geq 0:\ G(t)$$ suppenee aina kun $$|t| \lt R$$ ($$R$$ = potenssisarjan suppenemissäde / radius of convergence );
(2) $$G(t)$$ voi derivoida termeittäin mielivaltaisen monta kertaa aina kun $$|t| \lt R$$ ;
(3) $$R \geq 1 ⇒ G(t) \to \sum \limits_{ k=0}^{ \infty} a_k \text{ , kun } t \to 1$$ alhaalta/from below;
(4) $$\sum \limits_{ k=1}^{ \infty}ka_k t^{k-1}$$(derivaattaa vastaavalla potenssisarja) on sma suppenemissäde kuin $$G(t)$$ ;
Lause 9.3 $$P_X(k ) = \frac{ G_X^{(k) }(0)}{ k!}$$ (k:s derivaatta).
Lause 9.4 odotusarvon ja vaianssin laskeminen
▻▻ $$\mathbb{ E} X = G_X’ (1)$$ ;
▻▻ $$\text{Var} (X) = G_X”(1) + G_X'(1) – \big( G_X'(1)\big)^2$$ Lause 9.5 $$\mathbb{ E}X = \lim\limits_{ t \uparrow 1} G_X'(t) \in [ 0,\infty ]$$ .
Lause 9.7 (Satunnaissumma)
Olkoon summa $$M = \sum \limits_{ i=1}^{ N}X_i$$. Tällöin tngf:lle pätee: $$G_M(t) = G_N(G_{X_1}(t))$$

# Markovin ketjuista / Markov Chain

Olkoot (diskreettiaikainen) stokastinen prosessi on satunnaismuuttujien joukko $$(X_t)_{t\in \{0,1,2,…,T\}}$$, missä jokainen on kuvaus samaan tila-avruuteen $$X_t: \Omega\to S,\ \ \forall t \in \{0,1,2,…,T\}$$ Määr $$(X_t)_{t\in \{0,1,2,…,T\}}$$ on Markovin ketju (Markov chain), jos se toteuttaa:
▻▻ Markovin ominaisuuden: $$\mathbb{ P}(X_{t+1}=s_{t+1} |X_t = s_t, X_{t-1}=s_{t-1},…,X_0=s_0) = \mathbb{ P}(X_{t+1}=s_{t+1} |X_t = s_t)$$,
▻▻ ▻▻ joilla $$\mathbb{ P}(X_t = s_t, X_{t-1}=s_{t-1},…,X_0=s_0) \gt 0$$.

## Homogeeninen Markovin ketju

Määr Jos siirtymätodennäköisyydet ovat samat, eli $$p_{s,r}^{i+1} = p_{s,r}^{i}$$, niin Markovin ketju on homogeeninen.
Esim Olkoon $$X_t = Y_1 + … + Y_t$$:
▻▻ $$p_{s,r}^{(i+1)}= \mathbb{ P}(X_{i+1}=r | X_i =s) = \mathbb{ P}(Y_{i+1}=r-s)=\mathbb{ P}(Y_i =r-s)= p_{s,r}^{(i)}$$ ;
▻▻ Siis, ketju on pelkistymätön / irreductible
Esim Siirtymätodennäköisyydet
Merkitään:
(1) $$P =(p_{i,j})_{i,j \in I} = \begin{bmatrix} p_{1,1} &p_{1,2} &p_{1,3} &… \\ p_{2,1} &p_{2,2} &p_{2,3} &… \\p_{3,1} &p_{3,2} &p_{3,3} &… \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}$$, missä $$\sum \limits_{ j\in I}p_{i,j}=1$$ ;
(2) Muuttujan $$X_0$$ jakaumasta $$\mu$$.
Silloin:
▻▻ $$\mathbb{ P}(X_t=j) = \mu P^t (j)$$;

# Kertaus

• σ-algebra: $$\{\emptyset,A,A^c, \Omega\}$$ .
• tn-mitta $$\mathbb{ P} ⇔ \begin{cases} \mathbb{ P}(A) \geq 0\\ \mathbb{ P}(\cup A_i) = \sum \mathbb{ P}(A_i)\\ \mathbb{ P}(\Omega)=1 \end{cases}$$ .
• tn-funktio $$\mathbb{ P} ⇔ \begin{cases} P(\omega) \geq 0\\ \sum \limits_{ \omega \in \Omega}P(\omega) = 1 \end{cases}$$ .
• $$\begin{cases} P_X(s) = \sum \limits_{ \omega: X( \omega)=s}P(\omega) \\ P_{f(X)}(t) = \sum \limits_{ s:f(s)=t}P_X(s) \end{cases}$$ .
• Riipumattomat: $$\mathbb{ P} (X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = \mathbb{ P} (X_1 \in A_1)\cdots\mathbb{ P} (X_n \in A_n)$$ .
• $$\begin{cases} \mathbb{ E}X = \sum \limits_{ \omega \in \Omega} X(\omega) P (\omega) \\ \mathbb{ E}(aX + bY) = a\mathbb{ E}X +b \mathbb{ E}Y \end{cases}$$.
• Markovin epäyhtälö: $$\mathbb{ P}(X \gt a) \leq \frac{ \mathbb{ E}X }{ a}$$.
• Suurten lukujen laki: $$\begin{cases} (1) X_1 ⫫ X_2 ⫫ \dots ⫫ X_n\\(2)\text{noudattavat samaa jakaumaa}\\(3) Var(X_i) \lt \infty \\ ⇒ \frac{ X_1 + \cdots + X_n}{ n} \overset{\mathbb{ P} }{ \to } \mathbb{ E}X \end{cases}$$ .
• Tng-functio: $$G_X (t) = \mathbb{ E} t^X = \sum \limits_{ k=0}^{ \infty} t^k P_X(k)$$.
• $$\begin{cases} P(k)= \frac{ G^{(k)}(0)}{ k!}\\ \mathbb{ E}X = G'(1)\\Var(X)= G”(1)+G'(1) – (G'(1))^2 \end{cases}$$ .
• Markovin ketju: $$\mathbb{ P}(x_{t+1} \ | \ x_{t},x_{t-1},\dots,x_0) = \mathbb{ P}(x_{t+1}\ | \ x_t)$$ .
• $${n \choose k }p^k(1-p)^{n-k} =1$$; $$e^\lambda = \sum \limits_{ k=0}^{ \infty} \frac{ \lambda ^k }{ k!}$$.
Tunnetuimmista Jakaumista
Määr Bernoulli jakauma
▻▻ $$\textbf{Ber}(p) \begin{cases} \mu:\{0,1\} \to \mathbb{ R} \\ \mu(0)=1-p,\ \mu(1)=p \\ \mathbb{ E}X = p\\ Var(X)= p(1-0)\\ G_X(t)=1-p+tp\end{cases}$$.
Määr Binomijakauma:
▻▻ $$\textbf{Bin}(n,p) \begin{cases} \mu:\{0,1,\dots,n\}\to \mathbb{ R}\\ \mu(k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\\ \mathbb{ E}X=np\\ Var(x)=np(1-p)\\ G_X(t)=(1-p+tp)^n\end{cases}$$.
Määr Poissonin jakauma:
▻▻ $$\textbf{Poisson}(\lambda) \begin{cases}\mu:\{0,1,\dots,n\}\to \mathbb{ R}\\ \mu(k) = e^{-\lambda} \frac{ \lambda^k}{ k!} \mathbb{ E}X=\lambda \\ Var(x)=\lambda \\ G_X(t)=e^{\lambda(t-1)}\\ \end{cases}$$.
▻▻ Poissonin jakauma on raja-arvo $$\textbf{Bin}(n, \frac{ \lambda}{ n} )$$-jakaumasta, kun $$n\to \infty$$.
Määr Geometrinen jakauma:
▻▻ $$\textbf{Geom}(p) \begin{cases} \mu:\{0,1,\dots,n\}\to \mathbb{ R}\\ \mu(k) = (1-p)^{k-1}p\\ \mathbb{ E}X=\frac{ 1}{ p} \\ Var(x)=\frac{ 1-p}{ p^2} \\ G_X(t)=\frac{ pt}{ 1-(1-p)t} \end{cases}$$.