Sekamallit ja pitkittäisainestojen analyysi


Johdanto

Pitkittäisaineisto / Longitudinal data \(\begin{cases} \text{riippumattomat yksilöt} \\ \text{samat yksilöt mitataan } \begin{cases} \text{toistuvasti ajassa } \\ \text{erilaisissa olosuhteissa } \end{cases} \\ \text{yleensä, trendi ja vertailu } \\ \begin{cases} \text{yksilökohtaisia / within-subject } \\ \text{poikittaistutkimus / cross-section } \end{cases} \end{cases} \).

Merkintöjä: Yksilölle \(i \begin{cases} \boldsymbol{y} _i = (y _{i1} ,\dots, y _{in} )’ \\ \boldsymbol{\mu} _i = E(\boldsymbol{y} _i) \\ \boldsymbol{Cov} (\boldsymbol y_i ) = \boldsymbol \Sigma_i \\ \boldsymbol{Corr} (\boldsymbol y_i ) = \boldsymbol R_i \\ \ \ \ ▻▻\ (\boldsymbol \Sigma_i )_{jk} = Cov(y _{ij} ,y _{ik} )=\sigma _{ijk}\end{cases} \).

Lineaarinen malli \(\begin{cases} y _{ij} = \beta_0 + \beta_1 x _{ij1} + \cdots + \beta_p x _{ijp} + \epsilon _{ij} \\ \boldsymbol y_i = \boldsymbol X_i \boldsymbol \beta + \boldsymbol \epsilon_i \\ \boldsymbol X_i = \begin{bmatrix} 1 & x _{i11} & \cdots & x _{i1p} \\ 1 & x _{i21} & \cdots & x _{i2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x _{in1} & \cdots & x _{inp} \end{bmatrix} ,\ \ \boldsymbol \epsilon_i = \begin{bmatrix} \epsilon _{i1} \\ \epsilon _{i2} \\ \vdots \\ \epsilon _{in} \end{bmatrix} \end{cases} \).

Marginaalimallit \(\begin{cases} E(y _{ij} | \boldsymbol{x} _{ij} )= \mu _{ij} \\ g(\mu _{ij} ) = \boldsymbol{x} ‘_{ij} \boldsymbol \beta \\ Var(y _{ij} | \boldsymbol{x} _{ij} ) = \underbrace{\phi}_{ \text{skaala } } \underbrace{V(\mu _{ij} )}_\text{varianssifunktio } \end{cases} \).

Satunnaisvaikutusten mallit \(\begin{cases} g(E(y _{ij} | \boldsymbol u_i , \boldsymbol{x} _{ij} , \boldsymbol{z}_{ij})) = \boldsymbol{x} _{ij} ‘ \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{z} _{ij} ‘ \boldsymbol{u}_i \\ \boldsymbol u_i \ q \text{-ulotteinen satunaismuuttuja, kuuluu } \mu _{ij} \\ \boldsymbol{z} _{ij} \text{ design-vektori} \end{cases} \).

Transitiomallit \(g(E(y _{ij} | y _{ij-1} ,\dots, y _{i1} ))= \boldsymbol{x}_{ij} ‘ \boldsymbol{\beta} +\alpha y _{ij-1} \).

Kuvailevia tekniikoita

Erottaminen/Separation \(\begin{cases} \text{Poikittaistukimuksessa } & y _{i1} = \beta_C x _{i1} + \epsilon_{i1} \\ \text{Pitkittäistutkimuksessa } & y _{ij} = \beta_C x _{i1} + \beta_L (x _{ij} -x _{i1} ) + \epsilon _{ij} \\ &(y _{ij} – y _{i1} )= \beta_L(x _{ij } – x _{i1} ) + \epsilon _{ij} – \epsilon _{i1} \end{cases} \).

Sileän käyrä/smoothing \(\begin{cases} \text{Ydinregression/kernel }\\ \text{Lokaali polynomiregressio } \\ \text{Silotetut splinit /smoothing splines } \end{cases} \).

Heikko stationaarisuus \(ho( \underbrace{|t _{ij} – t _{ik} |}_{:=u} ) = Corr(r _{ij} – r _{ij-\tau} )\).

Variogrammi stokastiselle \(y(t)\):lle \(\begin{cases} \gamma(u) = \frac{1}{2} E \big( y(t) – y (t-u) \big)^2,\ \ \ u \gt 0\\ \text{stationaarinen ⇒ } \gamma(u)=\sigma^2 (1- \rho(u)) \end{cases} \).

page 21

You must be logged in to post a comment.