Mitta- ja Integraaliteoria

Table of Contents

Lähtö/Intro

MATS111 ja MATS112 Mitta- ja Integraaliteoria (syksy 2015)
Kurssin kotisivu (Heli)
Opettaja: Heli Tuominen
Kurssin koostuu kahdesta osasta:5 ECTs + 4 ECTs | 7 + 6 Harjoitukset

References and course material (PDFs)

• Heli Tuominen: Mitta- ja Integraaliteoria Luennot 2015 (Suomeksi);
• Tero Kilpeläinen: Luentomonistetta 2003-2004 (Suomeksi);
• E. M. Stein ja R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (in English).

Harjoitukset ja ratkaisut (PDFs):
• Osa I Harjoitukset || Ratkaisut
• Osa II Harjoitukset || Ratkaisut

MIT-1: Mittateoria

Geometrinen mitta / Geometric measure

• Karteesinen tulo (Cartesian Product)

\( I \subset \mathbb{R}^n \) on n reaalilukuvälin \( I_1, I_2, …, I_n \subset \mathbb{R} \) karteesinen tulo:
▻▻ \( I=I_1 \times I_2 \times …\times I_n = \{(x_1,x_2,…,x_n) \in \mathbb{R}^n:\ x_j \in I_j\ \forall j=1,2,…,n\} \).
\( I \) on avoin, jos \( \forall I_j \subset \mathbb{R} \) ovat avoimia.

• Geometrinen mitta

For \( I=I_1 \times I_2 \times …\times I_n,\text{ missä } I_j \subset \mathbb{R}\) ovat välejä, joiden päätepisteet ovat \( a_j \leq b_j \), geometrinen mitta on:
▻▻ \( v(I)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdot\cdot\cdot(b_n-a_n)=\prod\limits_{j=1}^n(b_j-a_j) \).
▻▻ se on välin pituus (n=1), suorakaiteen pinta-ala (n=2) tai laatikon tilavuus (n=3).

Lebesguen ulkomitta / Lebesgue outer measure

• Lebesguen ulkomitta

\( m^*(A)=m_n^*(A)=\inf \bigg\{ \sum\limits_{k=1}^\infty v(I_k):\ I_k \in \mathcal{K},\ A \subset \bigcup\limits_{k=1}^\infty I_k \bigg\} \);
▻▻ ja, \( \mathcal{K} = \{ \mathbb{R}^n:\ \text{avoimet välit}\} \cup \{ \emptyset \} \).

• Lebesguen ulkomitta pätee:

(i) \( m^*(\emptyset)=0 \);
(ii) Monotonisuus: Jos \( A \subset B \subset \mathbb{R}^n \), niin \( m^*(A) \leq m^*(B) \);
(iii) Subadditiivisuus: Jos \( A_1, A_2, … \subset \mathbb{R}^n \), niin \( m^*\big( \bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j \big) \leq \sum\limits_{j=1}^\infty m^*(A_j) \).

• Lebesguen Ulkomitan Laskeminen

▻▻ Yksiö: \( m^*(\{x\})=0 \).
▻▻ Numeroituva: \( m^*(N)=0 \), Olkoon \( N \subset \mathbb{R}^n \).
▻▻ n-väli: \( m^*(I)=v(I) \; =\prod\limits_{j=1}^n (b_j-a_j) \), Olkoon \( I \subset \mathbb{R}^n \).
▻▻ Siirtoinvariantti (\( T:=x+b \), ei “a”) ja Kiertoinvariantti(\( \mathcal{O} \)) (translation and rotation invariant): \( m^*(A)=m^*(T(A))=m^*(\mathcal{O}(A)) \).
▻▻ Numeroituvan additiivisuutta: \( m^*(\{tx:x \in A \})=|t|^n\ m^*(A),\; \forall t \gt 0,\ \forall A \subset \mathbb{R}^n \).

Lebesguen mitallinen / Lebesgue Measurable Sets

Merkitään: \( \mathcal{M}:= \mathcal{M}_n := \{ A \subset \mathcal{R}^n: A \text{ on Lebesguen mitallinen} \} \).

• Caratheodoryn ehto

\( A \subset \mathbb{R}^n \) on Lebesgue-mitallinen, niin:
\( m^*(E)=m^*(A\cap E)+m^*(E \setminus A), \; \forall E \subset \mathbb{R}^n\).
▻▻ Huom: E on mielivaltainen/arbitrary; A on Lebesgue-mitallinen)

• Lebesgue-mitallinen 1


▻▻ Joukku A on mitallinen, joss/iff ⇔ \( m^*(E) \leq m^*(A\cap E)+m^*(E \setminus A), \; \forall E \subset \mathbb{R}^n \).
▻▻ (Caratheodoryn + Subadditiivisuus)

▻▻ Joukku A on mitallinen, joss/iff ⇔ \( m^*(S \cup U) = m^*(S) + m^*(U),\; \forall S \subset A \ ja\ U \subset \mathbb{R}^n \setminus A\).
⇒ ⇍
▻▻ Jos \( m^*(A)=0 \), niin ⇒ A on Lebesgue-mitallinen;

• Lebesgue-mitallinen 2

Jos \( A, A_1, A_2,…, ja\ B \subset \mathbb{R}^n \) ovat Lebesgue-mitallisia,
(1) niin ⇒ A\B Lebesgue-mitallinen;
(2) niin ⇒ \( A=\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \) on mitallinen;
(3) niin ⇒ \( A=\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i \);
(4) Jos \( \forall j\ A_j \) ovat myös pareittain pistevieraita (pairly disjoint, \( A_j \cap A_i = \emptyset\)) niin ⇒\( m^*\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \bigg) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} m^*(A_i)\).

• Lebesgue-mitallinen 3


(1) Jos \( A \subset \mathbb{R}^n \) on Lebesgue-mitallinen, joss/iff ⇔
▻▻ \( m^*(E)=m^*(I \cap A) + m^*(I \setminus A)\), jokaiselle avoimelle n-välille I (any open n-interval I).
⇒ ⇍
(2) Jokainen n-väli on Lebesgue-mitallinen (any n-interval is Lebesgue-measurable).
(3) \( \mathbb{R}^n \):n Borel-joukot ovat Lebesgue-mitallisia.
HUOM
▻▻ \(\exists\ A \subset \mathbb{R},\ A\) is NOT Lebesgue-mitallinen. (Vitali Set)

Lebesguen mitta / Lebesgue-measure

Määritellään joukkofunktio \( m=m_n: \mathcal{M}_n \to [ 0,\infty ] \) asettamalla(place):
▻▻ \( m(A)=m^*(A) \). —muodostamalla(defined on) σ-algebra \( \mathcal{M} \).

• Lause

Olkoot \( A_1, A_2 … \in \mathcal{M}_n \)(eli. Lebesgue-measurable):
(1) Jos \( A_1 \subset A_2 \) ja \( m(A_1) \lt \infty \), niin:
▻▻ \( m(A_2 \setminus A_1) = m(A_1) -m(A_2) \);
(2) Jos \( A_1 \subset A_2 \subset … \), niin:
▻▻ \( m\bigg(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k \bigg)= \lim\limits_{k \to \infty}m(A_k) \);
(3) Jos \( A_1 \supset A_2 \subset … \), niin:
▻▻ \( m\bigg(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k \bigg)= \lim\limits_{k \to \infty}m(A_k) \).

• Seuraavat ovat yhtäpitäviä

(1) \( A \in \mathcal{M}_n \);
(2) \(\forall\ \varepsilon \gt 0,\ \exists\ \text{avoin } G \supset A \), jolle \( m^*(G \setminus A) \lt \varepsilon \);
(3) \(\exists\ \text{mitallinen joukko } B \supset A \), jolle \( m^*(B \setminus A) =0 \);
(4) \(\forall\ \varepsilon \gt 0,\ \exists\ \text{suljettu } F \subset A \), jolle \( m^*(A \setminus F) \lt \varepsilon \);
(5) \(\exists\ \text{mitallinen joukko } E \subset A \), jolle \( m^*(A \setminus E) =0 \);

• Lebesguen mitta on säännöllinen (regular)

▻▻ \( A \subset \mathbb{ R}^n,\ \exists\ A\subset B \text{ että, } m^*(A)=m*(B)\) .
Lause
Olkoon \( B \in \mathcal{ M}_n,\ m^*(B) \lt \infty \) :
▻▻ \( A \subset B \) on mitallinen, joss ⇔ \( m^*(A)=m^*(B)-m^*(B\setminus A)\) .

MIT-1: Integraaliteoria

Yksinkertaisen funktio integraali / Simple function integral

• Yksinkertiasen funktio

seuraavat ovat yhtäpitäviä (equal) :
(1) \( f \in \mathcal{ Y} \) ;
(2) \( \exists\) joukut \( A_1,…,A_k \in \mathcal{ M} \) , ja lukut \( c_1,…,c_k \in \mathbb{ R} \) :
▻▻ \( f(x)=\sum\limits_{j=1}^{k}c_j \large\chi\normalsize_{A_j}(x),\ \ \ \forall x \in \mathbb{ R}^n \) .
(3) On olemassa epätyhjät (non-empty), pareittain pistevieraat (pairly disjoint) joukot \( B_1,…,B_l \in \mathcal{ M} \) ja lukut \( b_1,…,b_k \in \mathbb{ R} \) :
▻▻ \( f(x)=\sum\limits_{j=1}^{l}b_j \large\chi\normalsize_{B_j}(x),\ \ \ \forall x \in \mathbb{ R}^n\) .
▻▻ se on yksinkertaisen funktion \( f\) normaaliesityksesti (normed-form) .

• Yli joukko

Merkitään: \( \mathcal{ Y}^+ :=\{ f\in \mathcal{ Y}: f(x) \geq 0,\ \forall x \in \mathbb{ R}^n \} \) .
Määritelmä (definition) :
▻▻ Olkoon \( f \in \mathcal{ Y}^+,\ f(x)=\sum\limits_{j=1}^{k}a_j \large\chi\normalsize_{A_j}(x)\) , jos \( E \in \mathcal{ M} \) :
▻▻ \( I(f,E):=\sum\limits_{j=1}^{k}a_j\ m \big( A_j \cap E \big)\) ,
▻▻ ▻▻ on f :n Lebesgue-integraali yli joukon E .

• Lemma

Jos \( f=\sum\limits_{j=1}^{k}a_j \large\chi\normalsize_{A_j}\) , and \( a_j \geq 0,\ A_j \cap A_i = \emptyset \) :
▻▻ \( I(f,E):=\sum\limits_{j=1}^{k}a_j\ m \big( A_j \cap E \big),\ \ \ \forall E\in \mathcal{ M} \) .
Olkoot f ja g yksinkertaisia & ei-negatiivisia funktioita , ⇒
(1) \( I(\chi_A , E)=m(A\cap E) \) ;
(2) \( \lambda I(f, E) = I (\lambda f, E),\ \forall \lambda \geq 0\) ;
(3) \( I(f+g, E)=I(f,E)+I(g,E) \) ;
(4) Jos \( f \leq g \) niin ⇒ \( I(f,E) \leq I(g,E)\) ;
(5) Jos \( A \subset E \) niin ⇒ \( I(f,A) \leq I (f,E)\) .

• Huomautus

\( I(f, \bigcup\limits_{k=1}^{\infty}E_k)
\begin{cases} \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}I(f, E_k), & \forall E_k\in \mathcal{ M} \\
= \sum\limits_{k=1}^{\infty}I(f, E_k) , & \text{jos E ovat pareittain pistevieraita (pairly disjoint)}
\end{cases} \).
limits
Jos \( E_1 \supset E_2 \supset … \) ja \( I(f, E_i) \lt \infty\) :
▻▻ \( I \big(f, \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}E_k \big)=\lim\limits_{k\to \infty} I(f, E_k)\) Jos \( E_1 \subset E_2 \subset …\) :
▻▻ \( I \big(f, \bigcup\limits_{k=1}^{\infty}E_k \big)=\lim\limits_{k\to \infty} I(f, E_k)\) a

• Heuristinen idea

Olkoon \( g_j\in \mathcal{ Y}^+,\ g_j \leq f \) :
▻▻ \( f(x)=\lim\limits_{j \to \infty }g_j (x)\) , lähes kaikilla \( x\) .
ja, määritele \( h_j(x)=\max \{g_1(x),…,g_j(x)\}\) :
▻▻ \( f(x)=\lim\limits_{j \to \infty }h_j (x)\) , lähes kaikilla \( x\) .
sitten, koska \( g_j \to f,\ g_j \leq f\) , on \( \forall c \in \mathbb{ R} \) :
▻▻\( \{x:f(x) \gt c\} = \mathbb{ R}^n \setminus \{x:f(x) \leq c\} = \mathbb{ R}^n \setminus \bigcap\limits_{j=1}^{\infty}\{x:g_j(x) \leq c\} \)

Mitalliset funktiot / Measurable functions

• Määritelmä

Olkoon \( A \subset \mathbb{ R}^n \) Lebesgue-mitallinen.
▻▻ Funktion \( f:A \to \overline{\mathbb{ R} }\) on mitallinen, jos \( \forall a \in \mathbb{ R} \) alkukuva \( f^{-1}( ] a,\infty [ )\) on mitallinen.
▻▻ ▻▻ \( f^{-1}( ] a,\infty ] )=\{ x \in A: f(x) \gt a \}\) .
Huomautus:
▻▻ Joukko \( A \subset \mathbb{ R}^n \) on Lebsgue-mitallinen, joss ⇔ \( \large\chi\normalsize_A (x)\) on mitallinen.
▻▻ \( \{ x: \large\chi\normalsize _A (x) \gt a \} = \begin{cases} \mathbb{ R}^n , & \text{jos } a \lt 0 \\ A, & \text{jos } 0 \leq a \lt 1\\ \emptyset , & \text{jos } a \geq 1\end{cases}
\) .

• Seuraavat ovat yhtäpitäviä

(1) \( f\) on mitallinen;
(2) \( \{ x \in A: f(x) \geq a \}\) on mitallinen \( \forall a \in \mathbb{ R} \) ;
(3) \( \{ x \in A: f(x) \lt a \}\) on mitallinen \( \forall a \in \mathbb{ R} \) ;
(4) \( \{ x \in A: f(x) \leq a \}\) on mitallinen \( \forall a \in \mathbb{ R} \) .
Todistus
(1)⇒(2) \( f^{-1}([ a, \infty ])=\bigcap \limits_{ i=1}^{ \infty} f^{-1} \big( ] a-\frac{ 1}{ i}, \infty ] \big) \in \mathcal{ M} \) .

• Lause

Jos \( f^{-1}(-\infty) \in \mathcal{ M} \) ja \( f^{-1}(] a,b [) \in \mathbb{ M},\ \forall \ a,b \in \mathbb{ R} \) niin ⇒ f on mitallinen
– – –
Jos f on mitallinen, niin ⇒ \( f^{-1}(-\infty), f^{-1}(\infty), f^{-1}(B)\) ovat mitallisia. (\( B \in \mathcal{ B}( \mathbb{ R} ) \) – numeroituva yhdiste tai leikkaus joukoista)
– – –
Huomautus
(1) f on mitallinen, mitallisen joukon \( A \subset \mathbb{ R} \) alkukuva ei ole välttämättä mitallinen, edes f on jatkuva. (measurable f , its preimage does not neccisarily to be measurable, even it is continuous.)
(2) Nollajatkoa \( \tilde{f}\) : \( f\) on mitallinen joss ⇔ \( \tilde{f}\) on mitallinen .
▻▻ \( \tilde{f} (x)= \begin{cases} f(x) , & \text{jos } x \in A \\
0, & \text{jos } x \notin A
\end{cases} \) .

• Lemma ja Lause

\( f\) on mitallinen, joss ⇔ sekä \( f^+\) että \( f^-\) ovat mitallisia.
– – –
Jos \( f:A \to \overline{R}\) ja \( g:A \to \overline{R}\) ovat mitallisia, niin ⇒
▻▻ Joukko \( E =\{ x \in A: f(x) \lt g(x) \}\) on mitallinen.
▻▻ \( f+g\) ja \( fg\) ovat mitallisia.
– – –
Huomautus
\( f\) on mitallinen, niin ⇒ \( |f|=f^+ + f^-\) on mitallinen.
▻▻ mutta, käänteinen väite ei päde (the reverse is not true)
– – –
Jos \( f:A \to \mathbb{ R} \) on mitallinen ja \( g:\mathbb{ R} \to \overline{\mathbb{ R} } \) on jatkuva , niin ⇒
▻▻ yhdistetty (composition) funktio \( g \circ f\) on mitallinen.

Ala- ja yläraja-arvot (limes inferior ja superior) / Upper- and lower-limit (Limit superimum and inferimum)

• Määritelmä

Yläraja-arvo eil limes superior:
▻▻ \( \limsup \limits_{ k\to \infty} a_k =\overline{ \lim \limits_{ k\to \infty}} a_k = \lim \limits_{ k\to \infty} \sup \limits_{j \geq k} a_j = \lim \limits_{ k\to \infty} \sup \{ a_k, a_{k+1}, … \}\) .
Alaraja-arvo eil limes inferior:
▻▻ \( \liminf \limits_{ k\to \infty} a_k =\lim \limits_{ \overline{ k \to \infty} } a_k = \lim \limits_{ k\to \infty} \inf \limits_{j \geq k} a_j = \lim \limits_{ k\to \infty} \inf \{ a_k, a_{k+1}, … \}\) .

• Huomautus

On aina olemassa jonot:
▻▻ \( b_k= \sup \limits_{j \geq q} a_j \) ;
▻▻ \( c_k= \inf \limits_{j \geq q} a_j\) ;
ja:
▻▻ \( \limsup \limits_{ k \to \infty} a_k = \inf \limits_{ k} \sup \limits_{ j \geq k}a_j\) ;
▻▻ \( \liminf \limits_{ k \to \infty} a_k = \sup \limits_{ k} \inf \limits_{ j \geq k}a_j\) ;
Aina:
▻▻ \( \liminf \limits_{ k \to \infty} a_k \leq \limsup \limits_{ k \to \infty} a_k\) ,
▻▻ Yhtäsuuruus pätee (equals) joss ⇔ on raja-arvo, jolloin:
▻▻ ▻▻ \( \lim \limits_{ k \to \infty} a_k =\liminf \limits_{ k \to \infty} a_k = \limsup \limits_{ k \to \infty} a_k\) .

• Lause

Jos \( f_k:A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) ovat mitallisia, niin ⇒
▻▻ \( \sup \limits_{ k} f_k,\ \inf \limits_{ k} f_k,\ \liminf \limits_{ k \to \infty} f_k,\ \limsup \limits_{ k \to \infty} f_k,\ \) ovat mitallisia
– – –
Jos funktiot \( f_k :A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) ovat mitallisia ja ne suppenevat kohti funkitota \( f\) , niin ⇒
▻▻ \( f\) on mitallinen.
– – –
Olkoon \( A \in \mathcal{ M},\ f:A \to [ 0, \infty ] \) , \( f\) on mitallinen joss ⇔
▻▻ \( \exists \text{ nouseva jono } f_k \in \mathcal{ Y}^+ \text{ että, } \lim \limits_{n \to \infty} f_k (x) = f(x), \ \forall x \in A\) .
– – –
(Seuraus) Olkoon \( A \in \mathcal{ M},\ f:A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) , \( f\) on mitallinen joss ⇔
▻▻ \( \exists \text{ jono } f_k \in \mathcal{ Y} \text{ että, } \lim \limits_{n \to \infty} f_k (x) = f(x), \ \forall x \in A\) .

Ei-negatiivisen funktio intergraali / Non-negative functions integral

• Määritelmä: Yli-joukko

Olkoon \( f:A \to [ 0, \infty ]\) mitallinen:
▻▻ Yli-joukon A: \( \int_A f\ dm = \int_A f\ dx = \sup \{ I (u, A): u \in \mathcal{ Y}^+, u \leq f \text{ A:ssa} \}\) .
HUOM :
(1) \( 0 \leq \int f\ dm \leq \infty\) ;
(2) \( f \in \mathcal{ Y}^+ \text{ , niin ⇒ } \int_A f\ dm = I (u, A) \) ;
(3) \( f\) mitallinen, niin ⇒ \( \tilde{ f}\) mitallinen, ja \( \int_B \tilde{f}\ dm = \int_{A \cap B} f\ dm \) ;
▻▻ missä \( \tilde{f}(x)= \begin{cases} f(x) , & \text{jos } x \in A \\ 0 , & \text{jos } x \notin A \end{cases}\) .
(4) \( m(A)=0 \text{ ,niin ⇒ } \int_A f\ dm=0, \ \forall f \) .

• Lause

Olkoot \( f,g\) ei-negatiivisia ja mitallisia; Joukot \( A, A_k, B \in \mathcal{ M} \) :
▻▻ Jos \( B \subset A \text{ , niin ⇒ } \int_B f\ dm \leq \int_A f\ dm \) ;
▻▻ \( \int_{\cup A_i} f\ dm \leq \sum \limits_{ i=1}^{ \infty} \int_{A_i} f\ dm \) ;
▻▻ Jos \( A_i\) pareittain pisteiveritia, niin ⇒ … =…;
– – –
▻▻ \( \int_A (\lambda f)\ dm = \lambda \int_A f\ dm, \ \ \ \forall \lambda \geq 0 \) ;
▻▻ \( f \leq g \text{ , niin ⇒} \int_A f\ dm \leq \int_A g\ dm \) ;
Tsebyshevin epäyhtälö (Chebyshev Inequality):
▻▻ \( m \big( \{ x \in A: f(x) \gt \lambda \} \big) \leq \frac{ 1}{ \lambda} \int_A f\ dm \) .
Todistus: Olkoon \( A_{\lambda} = \{ x \in A: f(x) \gt \lambda \}\) :
▻▻ ▻▻ \( \int_A f\ dm \geq \int_{A_\lambda} f\ dm \geq \int_{A_\lambda} \lambda \ dm = I (\lambda, \lambda_A)= \lambda m (A_\lambda)\) .

• Lebesguen Monotonisen Konvergenssin (MK) lause (nouseva)

Olkoon \( f_k: A \to [ 0, \infty ]\) nouseva jono,
niin ⇒ \( \int_A \lim \limits_{ k\to \infty} f_k \ dm = \lim \limits_{ k \to \infty} \int_A f_k\ dm \) .

Todistus:
Olkoot \( a= \lim \limits_{ k \to \infty} \int_A f_k\ dm, \ \varepsilon \gt 0, \ \lambda= \frac{ 1}{ 1+\varepsilon} \) :
▻▻ Osoitetaan \( \int_A f\ dm \leq (1+\varepsilon) a \) ,
Riittää osoita että \( I (u, A) \leq (1+\varepsilon)a,\ \forall u \in \mathcal{ Y}^+, u\leq f \) ,
Merkitään \( A_i = \{ x \in A: f_i (x) \geq \lambda u(x) \} = \{ x \in A: f_i (x) – \lambda u(x) \geq 0 \}\) ,
Koska \( (f_k)\) nouseva, \( A_i\) on nouseva, eli \( A_1 \subset A_2 \subset …\) , ja \( A = \cup A_i\) .
siis, riittää osoita että \( I(u, A_i) \leq \frac{ 1}{ \lambda} a\) nyt,
\( I (u, A_i) = \frac{ 1}{ \lambda} I (\lambda u, A_i) = \frac{ 1}{ \lambda} \int_{A_i} \lambda u\ dm \leq \frac{ 1}{ \lambda} \int_{A_i} f_i\ dm \leq \frac{ 1}{ \lambda} \int_{A_i} f_i\ dm \leq \frac{ 1}{ \lambda} a \) .
▻▻ Välitään \( \lambda = \frac{ 1}{ \lambda ‘} \) … □

Seuraus:
(1) \( \exists\) nouseva jono \( u_k \in \mathcal{ Y}^+ \) , että:
▻▻ \( f(x) = \lim \limits_{ k \to \infty} u_k (x) \) ja
▻▻ \( \int_A f\ dm = \lim \limits_{ k \to \infty} \int_A u_k\ dm \) .
(2) \( \int_A (f+g)\ dm = \int_A f\ dm +\int_A g\ dm \) ;
(3) \( \int_A \sum \limits_{ k=1}^{ \infty} f_k\ dm \leq \sum \limits_{ k=1}^{ \infty} \int_A f_k\ dm\) .

• Melkein Kaikilla

\( P = P (x)\) merlkein kaikilla (m.k., almost everywhere, a.e.) jos:
▻▻ \( \exists \text{ joukon } N, \ m(N)=0 \text{ ja } P=P(x), \ \forall x \in A \setminus N \) Huom :
Jos \( f:A \to \overline{\mathbb{ R} }\) mitallinen, ja \( g(x)=f(x)\) m.k.,
▻▻ niin ⇒ \( g\) on mitallinen ja \( \int_A f\ dm = \int_A g\ dm \) (Lemma).
Lause :
Olkoon \( f:A \to [ 0, \infty ]\) :
(1) \( \int_A f\ dm = 0 \) joss ⇔ \( f(x)=0\) melkein kaikilla \( x \in A\) ;
(2) \( \int_A f\ dm \lt \infty\) niin ⇒ \( f(x) \lt \infty \) melkein kaikilla \( x \in A\) .

• Fatoun Lemma

Olkoon \( f_k:A \to [ 0, \infty ] \) :
▻▻ \( \int_A \liminf \limits_{ k \to \infty} f_k\ dm \leq \liminf \limits_{ k \to \infty} \int_A f_k\ dm \) .
Huom:
\( \lim \limits_{ k \to \infty} f_k \) tai \( \lim \limits_{ k \to \infty} \int_A f_k \ dm\) ei tarvitse olla olemassa.

• Lebesguen Monotonisen Konvergenssin lause – Laskeva

Olkoon \( f_k: A \to [ 0, \infty ] \) laskeva jono, ja \( \int_A f_{k_0} \ dm \lt \infty \text{ jollain/for some} k_0 \) :
niin ⇒ \( \int_A \lim \limits_{ k\to \infty} f_k \ dm = \lim \limits_{ k \to \infty} \int_A f_k\ dm \) .

Todistus:
Olkoon joukon \( N:= \{ x \in A: f_1 (x) =\infty \}\) ,
Tällöin \( \big( f_1(x) – f_k (x) \big),\ x \in A \setminus N\) on nousevan jonon.
\( \begin{align} \int_{A \setminus N} f_1\ dm – \int_{A \setminus N} f\ dm &= \int_{A \setminus N} (f_1 -f )\ dm\\ &= \lim \limits_{ k \to \infty} \int_{A \setminus N} (f_1 – f_k)\ dm \\ &= \int_{A \setminus N} f_1\ dm – \lim \limits_{ k \to \infty} \int_{A \setminus N} f_k\ dm\end{align} \) .
⇒ \( \int_{A \setminus N} f_k\ dm = \lim \limits_{ k \to \infty} \int_{A \setminus N} f_k\ dm \) ,
koska \( m(N)=0\) ,
⇒ \( \int_{A} f_k\ dm = \lim \limits_{ k \to \infty} \int_{A} f_k\ dm \) □

Intergroituvat funktiot ja niiden integraalit / Integrable functions and their integrals

• Määritelmä

Olkoon \( A \in \mathcal{ M} \) ja \( f:A \to \overline{ R} \) mitallinen,
▻▻ Jos \( \int_{A} f^+\ dm \lt \infty\) ja \( \int_{A} f^+\ dm \lt \infty\) ,
▻▻ \( \int_{A} f\ dm = \int_{A} f^+\ dm -\int_{A} f^-\ dm\) .
▻▻ \( f\) on integroituva A:ssa, merkitään \( f \in \mathcal{ L}^1 (A) \) ,

• Seuraavat ovat yhtäpitäviä

(1) \( f \in \mathcal{ L}^1(A) \) (eli. \( f^+ \in \mathcal{ L}^1(A), f^- \in \mathcal{ L}^1(A)\) ) ;
(2) \( \exists \text{ integroituvat } u,v \geq 0, \text{ että, } f=u-v \) ;
(3) \( \exists \text{ integroituvat } g, \text{ että, } |f| \leq g\ A \) :ssa ;
(4) \( |f|\) on integroituva A:ssa;
Huom
Kaikki epäyhtälöt voidaan korvata vastaavilla “m.k.” voimassa olevilla epäyhtälöillä. (All inequalities can be replaced be “a.e.”)

• Lause

Olkoot \( f,g \in \mathcal{ L}^1,\ \lambda \in \mathbb{ R}, \ A_i \in \mathcal{ M} \) pareittain pistevieraita, niin ⇒
▻▻ \( \int_{A} \lambda f\ dm = \lambda \int_{A} f\ dm \) ;
▻▻ \( \int_{A} (f+g)\ dm = \int_{A} f\ dm + \int_{A} g\ dm \) ;
▻▻ \( \int_{A} f\ dm = \sum\limits_{ k=1}^{ \infty} \int_{A_k} f\ dm \) ;
Huom: \( \max(f,g), \min(f,g) \in \mathcal{ L}^1\) .
– – –
Jos \( f \leq g \) melkein kaikilla, niin ⇒
▻▻ \( \int_{A} f\ dm \leq \int_{A} g\ dm \) ;
▻▻ \( | \int_{A} f\ dm | \leq \int_{A} |f|\ dm \) .

• Lebesguen dominoidun konvergenssin lause (DK-lause)

Olkoot \( f,f_k :A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) mitallisia funktioita, ja \( f_k(x) \to f(x)\) m.k. \( x \in A\) ,
Jos \( \exists g \in \mathcal{ L}^1 \text{ jolle } \forall k\ \ |f_k (x)| \leq g (x) \) m.k. \( x \in A\) niin ⇒
▻▻ \( \int_{A} f\ dm = \lim\limits_{ k \to \infty}^{ } \int_{A} f_k \ dm \) .
– – –
Rajoitettu konvergenssin lause :
jos \( g(x) \equiv M\) , M on vakio…

• Esimerkkejä

(1) Olkoot \( A=[ 1, \infty [,\ f_i :A \to \mathbb{ R} ,\ f_i(x)=\frac{ \cos \frac{ x}{ i} }{ x^2} \) , löytä \( \lim\limits_{ i \to \infty} \int_{A} f_i\ dm \) .

Huom: MK-lause tai rajoitettu-k-lause eivät käy, koska \( m(A) = \infty\) Nyt, \( f(x):= \lim\limits_{ i \to \infty} f_i (x) = \frac{ 1}{ x^2} ,\ \ \ \forall x \in A \) , Funktiot \( f_i\) ja \( f\) ovat mitallisia.
Etsitään rajoitettu funktion \( g\) , että \( g(x) \leq |f_i (x)| \ \ \forall x \) ,
Olkoon \( g(x)= \frac{ 1}{ x^2}\) , ja se on integraalituva ja lasketuva.
Tällöin, \( \int_{[ 1, \infty [} g\ dm = \int \limits_{ 1}^{ \infty} \frac{ dx}{x^2 } = \lim\limits_{ c \to \infty} \int \limits_{ 1}^{c} \frac{ dx}{ x^2} = 1 \lt \infty \) .
DK-lause: \( \lim\limits_{ i \to \infty} \int_{A} f_i\ dm = \int_{[ 1, \infty [} g\ dm =1\)

(2) Olkoot \( A=[ 0,1 ],\ f_i(x)= x \cos \frac{ x}{ i} \) , löytä \( \lim\limits_{ i \to \infty} \int_{A} f_i\ dm \) .

\( |f_i(x)| \leq |x| \leq 1\ \ \forall x \in A \) Käy rajoitettu-k-lause: \( \lim\limits_{ i \to \infty} \int_{A} f_i\ dm = \int_{A} x\ dm = \int \limits_{ 0}^{1} x dx = \frac{ 1}{ 2} \) .

Konvergenssilauseiden sovellutuksia / Convergent theorem applications

• Remannin ja Lebesguen integraalit R:ssä

Rajoitetun funktion \( f:[ a,b ] \to \mathbb{ R} \) :
Riemannin alaintegraali:
▻▻ \( ala \int \limits_{ a}^{ b} f:= \sup \{ I(g, [ a,b ]): g \text{ porrasfunktio ja } g \leq f \text{ välillä } [ a,b ] \} \) ;
Riemannin yläintegraali:
▻▻ \( ylä \int \limits_{ a}^{ b} f:= \inf \{ I(h, [ a,b ]): h \text{ porrasfunktio ja } h \geq f \text{ välillä } [ a,b ] \} \) ;
\( f\) on Riemann-integroituva, jos:
▻▻ \( ala \int \limits_{ a}^{ b} f = ylä \int \limits_{ a}^{ b} f\) .
▻▻ Merkitään \( \int \limits_{ a}^{ b} f := \int \limits_{ a}^{ b} f(x)dx:=ala \int \limits_{ a}^{ b} f = ylä \int \limits_{ a}^{ b} f\) .

• Lause

Rajoitetun funktion \( f:[ a,b ] \to \mathbb{ R} \) on Riemann-integroituva, niin ⇒
▻▻ \( \int \limits_{ a}^{b} f = \int_{[ a,b ]} f\ dm \) .
– – –
Huom:
(1) vastaava tulos on totta \( \mathbb{ R}^n \) :ssä;
(2) Lebesguen ehto: rajoitettu \( f [ a,b ] \to \mathbb{ R} \) on R-int:va, joss ⇔ \( f\) on jatkuva m.e. (continous almost everywhere.)
(3) Lebesgue-int:va funktioita on paljon enemmän kuin R-int:via, esim \( \large\chi\normalsize_ Q\) (L-integrable functions are more than R-ones)
– – –
Seuraus :
Olkoon \( f: [ a,b [ \to [ 0, \infty [,\ b \in \mathbb{ R}\text{ or } b= \infty \) ,
Jos funktiolla \( f\) on epäoleellinen/irrelevant R-integraali \( \int \limits_{ a}^{ b} f\ dx\) , niin ⇒
▻▻ \( f\) on mitallinen, ja \( \int_{[ a,b [} f\ dm = \int \limits_{ a}^{ b} f\ dx\) .
– – –
Huom
(1) vastavasti välit \( ] a,b ] , ] a,b [\) (2) muista että \( \int \limits_{ a}^{ b} f\ dx = \lim\limits_{ c \to b} \int \limits_{ a}^{ c} f\ dx \) Todistus vinkki: \( [ a,b [ = \bigcup \limits_{ i=1}^{ \infty} [ a,b-\frac{ 1}{ i} ]\)

• Esimerkkejä

(1) Olkoot \( A =[ 0, \infty [,\ f:A \to \mathbb{ R},\ f(x)=\frac{ \sin (x)}{ x^2} \) , onko \( f\) int:va?

Koska \( | f(x)| \leq \frac{ 1}{ x^2} \) ,
▻▻ riittää osoita että \( g:A \to [ 0, \infty [, \ g(x)=\frac{ 1}{ x^2} \) on int:va (lemma 6.2)
\( g\) on jatkuva ja rajoitettu joukossa A, ja
▻▻ \( \int \limits_{ 1}^{ c} \frac{ dx}{ x^2} \to 1 \) , kun \( c \to \infty\) Funktiolla \( g\) on epäol R-integraali, niin
▻▻ \( \int_{[ 1, \infty [} g\ dm = \int \limits_{ 1}^{ \infty} g\ dx = 1 \) Siis, funktion \( f\) on int_va.

(2) Vaihtuvamerkkiselle \( f\) pitää olettaa, että epäol R-integraali \( \int \limits_{ a}^{ b} |f|\ dx\) on olemassa ja äärellinen .
Epäol R-int voi olla olemassa vaikka \( f\) ei ole L-int:va jos \( f\) on vaihtuvamerkkinen:

\( f:[ 1,\infty [ \to \mathbb{ R},\ f(x)=\frac{ \sin (x)}{ x} \) ,
\( f\) on jatkuva mitallinen ja,
▻▻ \( \begin{align}
\int_{[ 0,\infty [} f\ dm & \geq \sum \limits_{ n=1}^{ \infty} \int_{[ n \pi, (n+1) \pi ]} \frac{ |\sin x|}{ x}\ dm \\ & \geq \sum \limits_{ n=1}^{ \infty} \frac{ 1}{ (n+1) \pi} \int_{[ n \pi, (n+1) \pi ]} |\sin x|\ dm \\ & =\frac{ 2}{ \pi} \sum \limits_{ n=1}^{ \infty} \frac{ 1}{ n+1} = \infty
\end{align}\)

MIT-2: Jatkuvuus & Lp

Absoluuttinen Jatkuvuus / Absoulute continuity

• Mitan ja integraalin absoluuttinen jatkuvuus

Jos \( m(A)= 0 \) , niin ⇒ \( \displaystyle\int_{A} f\ dm =0 \).
▻▻ Onko yleisemmiin totta, että jos \( m(A)\) pieni, niin \( \displaystyle\int_{A} f\ dm \) pieni? EI.
Esim 9.1 \( A= ] 0,a [,\ 0 \lt a \lt 1\) , valitaan \( f(x)= \frac{ 1}{ x} \) ja \( g(x)=\frac{ 1}{ \sqrt{x}} \) , niin \( \displaystyle\int_{A} f\ dm = \infty,\ \displaystyle\int_{A} g\ dm = 2 \sqrt{a} \) .
Lause 9.2 \( f\in \mathcal{ L}^1,\ \forall \ \varepsilon \gt 0, \ \exists\ \delta \gt 0:\ \ \ \displaystyle\int_{A\cap E} f\ dm \lt \varepsilon, \text{ aina kun } m(E) \lt \delta \) . (Tod: AT)

• Abs jatkuvat funktiot

Määr 9.3 \( f:[ a,b ]\to \mathbb{ R} \) absoluuttisesti jatkuva, jos \( \forall \ \varepsilon \gt 0, \ \exists\ \delta \gt 0:\ \ \ \sum \limits_{ j=1}^{k} | f(b_j)-f(a_j) | \lt \varepsilon \text{ aina kun } ] a_1, b_1 [, …, ] a_k, b_k [ \subset ] a,b [ \text{ ovat erillisiä ja } m(\bigcup \limits_{ j=1}^{ k}] a_j, b_j [ ) = \sum \limits_{ j=1}^{ k} (b_j-a_j) \lt \delta \) .
Huom 21(absoluuttisesti jatkuvuus)
(1) \( f\) on abs jatkuva, niin ⇒ \( f\) tasaisesti jatkuva;
(2) Jos \( f,g [ a,b ] \to \mathbb{ R} \) ovat abs jatkuvia, niin ⇒ \( f+g, \ cf, \ fg\) ovat abs jatkuvia;
Lause 9.4 Olkoon \( f:[ a,b ] \to \mathbb{ R} \):
▻▻ \( f\) on abs jatkuva, joss ⇔ \( f\) derivoituva melkein kaikilla \( x \in ] a,b [, \ f’ \in \mathcal{ L}^1([ a,b ])\) ja:
▻▻ ▻▻ \( f(x) = f(a) + \displaystyle\int_{[ a,x ]} f’\ dm, \ \ \forall x \in [ a,b ] \).
Huom 22(derivoituva ja abs jatkuva)
(1) on olemassa derivoituva \( f:[ a,b ] \to \mathbb{ R} \) joka ei ole abs jatkuva. esim: \( f(x) = \begin{cases} x^2 \cos {\frac{ \pi}{ x^2} }, & x\in ]0,1]\\ 0 , & x=0 \end{cases}\);
(2) jos \( f:[ a,b ] \to \mathbb{ R} \) on Lipschitz-jatkuva, niin ⇒ \( f\) on abs jatkuva (valitse \( \delta = \frac{ \varepsilon}{ 2} \) )
(3) \( f(x) = |x|\) on abs jatkuva välillä [ -1,1 ];
(4) Jos \( f\) on derivoituva ja \( |f’|\) rajoitettu, niin ⇒ \( f\) on abs jatkuva.

• Heilahtelu

Määr 9.5 \( f\) kokonaisheilahtelu / total variation välillä \( [ a,b ]\) on:
▻▻ \( V_f (a,b) = \sup \bigg\{ \sum \limits_{ i=1}^{ k} | f(x_i)-f(x_{i-1}) | : k \in \mathbb{ N}, a=x_0\lt x_1 \lt … \lt x_k =b \bigg\}\).
\( f\) on rajoitetusti heilahteleva / bounded variation / BV jos \( V_t(a,b) \lt \infty\).
Huom 23(heilahtelu)
(1) Jos \( f\) on monitominen, niin ⇒ \( V_f(a,b) = |f(a)-f(b)| \) ;
(2) \( f:[ a,b ] \to \mathbb{ R} \) on rajoitettu heilahteteva, joss ⇔ \( f\) on rajoitettu heilahteteva osäväleillä \( [ a,c ]\) ja \( [ c,b ], \ \forall c \in [ a,b ]\) ;
(3) \( \forall c \in ] a,b [ \) on \( V_f (a,b) = V_f (a,c) + V_f (c,b)\) .
Lemma 9.6 abs jatkuva, niin ⇒ rajoitettu heilahteleva.
Lause 9.7 \( f\) on rajoitettu heilahteleva, joss ⇔ on kasvavat funktiot \( u,v: [ a,b ] \to \mathbb{ R} \) , joille \( f= u-v\).
▻▻ (Todistus) \( u(x)=V_f(a,x),\ v(x)=V_f(a,x)-f(x) \).
Huom 24 (BV funktio)
(1) \( f\) on rajoitettu heilahteleva, niin ⇒ \( f\) on derivoituva m.k.;
(2) \( f\) on rajoitettu heilahteleva, niin ⇒ \( f\) on rajoitettu, mitallinen ja R-integroituva;
(3) \( f\) on absoluutitesti jatkuva ja rajoitettu heilahteleva, niin ⇒ \( m(f(A))=0 \text{, jos } m(A)=0 \) .

Lp-avaruuksista / Lp-spaces

• Normi

Määr 10.1 Olk \( A \subset \mathbb{ R^n} \) ja \( f:A \to \overline{ \mathbb{ R}} \) , \( L^P \) – normi on:
▻▻ \( ||f||_p = ||f||_{\mathcal{ L}^p (A) } = \bigg(\displaystyle\int_{A} |f|^p \ dm \bigg)^{\frac{ 1}{ p} } \in [ 0,\infty ], \ \ \ 1 \leq p \lt \infty\) .
▻▻ \( ||f||_\infty = ||f||_{\mathcal{ L}^\infty (A) } = ess \sup \{ |f(x)|: x \in A \} = \inf \{ f\gt 0: |f(x)| \leq f\ m.k.\ x \in A \}\) .
Määr \( \mathcal{ L}^p (A) = \{ f:A \to \overline{ \mathbb{ R} }, f\ mitallinen,\ ||f||_p \lt \infty\}\) .
Huom 25 (Mitallisuus ja Lp)
(1) \( |f|^p\) on mitallinen kun \( 1 \leq p \lt \infty\) ;
(2) Jos \( f,g: A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) mitallisia ja \( f=g\) m.k. A:ssa, niin ⇒ \( ||f||_p =||g||_p\) ;
(3) Jos \( f\in \mathcal{ L}^p (A) \) , niin ⇒ \( |f| \lt \infty\) m.k. A:ssa;
(4) Cavalierin kaavan mukaan on :
▻▻ \( \displaystyle\int_{A} |f|^p\ dm = \displaystyle\int_{0}^\infty m(\{|f|^p \gt t\})\ dt = p \displaystyle\int_{0}^\infty s^{p-1}m(\{|f| \gt s\})\ ds \) ;
(5) \( L^\infty\) -normi on \( f\) :n yläraja mitan mielessä:
▻▻ \( ||f||_\infty = \inf \big\{t \gt 0: m(\{x: |f(x)| \gt t\}=0)\big\}\) ;
▻▻ Joukkoa \( \mathcal{ L}^\infty (A) \) sanotaan joskus olellisesta rajoitettujen funktioiden joukoksi.
(6) Jos \( m(A) \lt \infty\) ja \( f \in \mathcal{ L}^\infty (A) \) , niin ⇒ \( ||f||_\infty = \lim\limits_{ p \to \infty} ||f||_p \) ;
(7) Jos \( m(A) \lt \infty\) ja \( f \in \mathcal{ L}^\infty (A) \) , niin ⇒ \( \mathcal{ L}^\infty (A) \subset \mathcal{ L}^p (A),\ \displaystyle\int_{A} |f|^p\ dm \leq ||f||_\infty m(A) \) ;
(8) \( \inf\) saavutetaan \( ||\cdot ||_p\) :n määritelmässä eli \( |f(x)| \leq || f ||_\infty\) m.k.

• Ongelmia ja Korjauksia (vektoriavaruus)

Ongelmia
▻▻ \( \mathcal{ L^p} \) eivät ole vektoriavaruuksia;
▻▻ \( ||\cdot||_p\) ei ole “oikea normi” (se on m.k. sanoille funtoille) .
Korjataan nämä ongelmat:
▻▻ Joukkoon \( \mathcal{ L^p} \) : \( f \sim g \) ⇔ \( f(x) = g(x)\) m.k.
▻▻ Funktion \( f \in \mathcal{ L^p}\) : \( [ f ] = \{g \in \mathcal{ L^p}: g \sim f\}\) .
▻▻ Tekijäavaruus: \( L^p = \mathcal{ L^p}| _\sim = \{ [ f ]: f \in \mathcal{ L^p} \}\) Siis, \( L^p (A)\) on vektoriavaruus, koska:
Normi (kuvaus): \( ||\cdot||_p : L^p \to \mathbb{ R} \) :
(1) \( ||\ [ f ]\ ||_p \geq 0, \forall f\) ;
(2) \( ||\ [ f ]\ ||_p = 0\) joss ⇔ \( [ f ]=[ 0 ]\) ;
(3) \( ||\ c[ f ]\ ||_p = |c|\ ||\ [ f ]\ ||_p\) ;
(4) \( ||\ [ f ]+[ g ]\ ||_p \leq ||\ [ f ]\ ||_p +||\ [ g ]\ ||_p\)

• Hölderin epäyhtälö

Lause 10.3 olkoot \( f \in L^p(A),\ g \in L^q(A),\ \frac{ 1}{ p}+ \frac{ 1}{ q}=1,\ p,q\in [ 1,\infty ] \) Tällöin:
▻▻ \( fg \in L^1 (A)\) ja
▻▻ \( ||fg||_{L^1(A)} \leq ||f||_{L^p(A)}||fg||_{L^q(A)}\).
Huom 26 (Hölder)
(1) \( \displaystyle\int_{A} |fg|\ dm \leq \big( \displaystyle\int_{A} |f|^p\ dm \big) ^{\frac{ 1}{ p} } \big( \displaystyle\int_{A} |g|^q\ dm \big) ^{\frac{ 1}{ q} },\ p,q \in ] 1, \infty [\);
(2) Olk \( m(A) \lt \infty, 1 \leq p \lt q \leq \infty\) , tällöin \( L^q(A) \subset L^p(A)\) ja
▻▻ \( ||f||_p \leq \big( m(A)\big)^\frac{ q-p}{ pq} ||f||_q \) .
Lause 10.4 Youngin epäyhtälö Olk \( a,b \in [ 0,\infty [,\ p,q \in ] 1,\infty [ , \ 1/p+1/q=1 \). Tällöin:
▻▻ \( ab \leq \frac{ a^p}{ p}+\frac{ b^q}{ q} \).
Seuraus 10.5 Jos \( m(A) \lt \infty,\ 1\leq p\leq q \leq \infty\), niin:
▻▻ \( L^q (A) \subset L^q(A)\);
▻▻ \( ||f||_p \leq \big( m(A) \big)^{1/p-1/q} ||f||_q\).
Lause 10.6 Minkowski epäyhtälö (Δ-ey) Olk \( p \geq 1, f,g \in L^p(A)\) , tällöin \( f+g \in L^p(A)\) ja
▻▻ \( ||f+g||_p \leq ||f||_p + ||g||_p\) .

• Normiavaruus \( (X, ||\cdot||)\)

Lause 10.7(Riesz-Fischer) \( p \in [ 1, \infty ]\) , \( L^p(A)\) on Banach-avaruus (täydellinen, Cauchy-jono suppenee).
Lause 10.8 olk \( p \geq 1, f,f_j \in L^p(A)\) ja \( \lim\limits_{ j \to \infty} ||f_j-f||_p = 0\) (eli. \( f_j \to f\) ), tällöin
▻▻ \( f_j\) on osajono \( f_{j_k}: f_{j_k}(x) \to f(x), \ m.k. x \in A\) .
\( L^2\) sisätuloavaruus ja Hibert-avaruus, muuta jos \( p \neq 2\) ei ole.
▻▻ \( \langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{A} fg\ dm, \ \ \ f,g \in L^2(A) \) .

MIT-2: Yleistä mittateoriaa

Ulkomitta / Outer measure

Potenssijoukko \( \mathcal{ P}(X) = \{ A: A \subset X \} \).
Määr 11.1 Joukkofunktio \( \mu ^* : \mathcal{ P}(X) \to [ 0, \infty ] \) on ulkomitta X:ssä, jos
(M1) \( \mu^*( \emptyset) =0\) ;
(M2) \( A \subset B \subset X ⇒ \mu^*(A) \leq \mu^*(B)\) (monotonisuus)
(M3) \( A_1, A_2,… \subset X ⇒ \mu^*(\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty}A_j ) \leq \sum \limits_{ j=1}^{ \infty} \mu^*(A_j) \) (subadditiivisuus)
Esim 11.2 Ulkomitan esimerkkejä
Dirac- mitta: \( \delta_{x_0}= \begin{cases} 1, & \text{jos } x_0 \in A \\ 0 , & \text{jos } x_0 \notin A \end{cases} \) .
Lukumäärämitta: \( \mu^*(A)= \begin{cases} \# A, & \text{jos A äärellinen} \\ \infty , & \text{jos A ei ole äärellinen} \end{cases} \) .
Määr 11.3 (Carathéodoryn ehdo)Joukko \( A \subset X\) on \( \mu^* \text{-mitallinen} \) jos
▻▻ \( \mu^*(E) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(E \setminus A), \ \ \ \forall E \subset X\) .
▻▻ Merkitään \( \Gamma_{\mu^*} := \{ A \subset X: A \text{ on } \mu^* \text{-mitallinen} \}\) .
Huom A on mitallinen, joss ⇔ \( \mu^*(S \cup U) = \mu^*(S) + \mu^*(U), \ \ \ \forall S \subset A, U \subset X \setminus A \) .
Lemma 11.5 \( \mu^*(A)=0 \) niin ⇒ A on mitallinen.
Lause 11.6 Olk \( A, A_i, B\ \mu^*\) -mitallisia:
(1) \( A \setminus B\) mitallinen ;
(2) \( \bigcup \limits_{ i=1}^{ \infty}A_i \) mitallinen;
(3) \( A_i\) pareittain pistevieraita, niin ⇒ \( \mu^*(\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty}A_j ) = \sum \limits_{ j=1}^{ \infty} \mu^*(A_j)\) ;
(4) \( \bigcap \limits_{ i=1}^{ \infty}A_i \) mitallinen.
Lause 11.7 \( \mu = \mu^*|_{\Gamma_{\mu^*}} : \Gamma_{\mu^*} \to [ 0,\infty ] \) on (täysadditiivinen) mitta.
Lause 11.8 Olk \( A_1, A_2,… \in \Gamma_{\mu^*}\) :
(1) \( A_1 \subset A_2 ⇒ \mu^*(A_2 \setminus A_1) = \mu^*(A_2) – \mu^*(A_1)\) ;
(2) Jos \( A_1 \subset A_2 \subset …\) niin ⇒ \( \mu^*(\bigcup \limits_{ k=1}^{ \infty} A_k) = \lim\limits_{ k \to \infty} \mu^*(A_k)\) ;
(3) Jos \( A_1 \supset A_2 \supset …\) ja \( \mu^*(A_{k_0}) \lt \infty\) niin ⇒ \( \mu^*(\bigcap \limits_{ k=1}^{ \infty} A_k) = \lim\limits_{ k \to \infty} \mu^*(A_k)\) ;

Metrinen ulkomitta / Metric outer measure

Määr 11.10 \( (X,d)\) metrinen avaruus, ulkomitta \( \mu^*\) on metrinen ulkomitta X:ssä, jos:
▻▻ \( \mu^*(A \cup B) = \mu^*(A) + \mu^*(B) \),
▻▻ ▻▻ \(\text{ kun dist} (A,B) \gt 0 \text{, ja} \text{ dist}(A,B):= \inf \{ d(a,b): a \in A, b \in B \} \) .
Lause 11.11 Jos \( \mu^*\) on mietrinen ulkomitta X:ssä, niin ⇒ X:n suljetut joukot ovat \( \mu^*\) -mitallisia.
Lause 11.12 Metirnen ulkomitta on Borel-mitta, ts. Borel-Joukot ovat mitallisia.

Ulkomitan konstruointi/ Outer-measure construction

• Peiteluokka ja esimitta

Määr 12.1 Olk \( \mathcal{ K} \subset \mathcal{ P}(X) \) : sanotaan, että \( \mathcal{ K} \) on peiteluokka jos:
(1) \( \emptyset \in \mathcal{ K} \) ;
(2) \( X\) voidaan peittää numeroituvan monella \( E_j \in \mathcal{ K} \) , ts.
▻▻ \( \exists \ E_j \in \mathcal{ K}: X = \bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} E_j \) .
Joukkofunktio \( h: \mathcal{ K} \to [ 0,\infty ] \) , jolle \( h(\emptyset) =0\) sanotaan esimitaksi / pre-measure, jos:
▻▻ \( \mu ^* (A) = \inf \bigg\{ \sum \limits_{ j=1}^{ \infty} h(E_j): E_j \in \mathcal{ K},\ A \subset \bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} E_j \bigg\}\) .
Lause 12.2 \( \mu^*\) on ulkomitta.

• Carathéodoryn konstruktio (metrisen ulkomitan konstruktio)

Määr 12.3 Olk \( X\) metrinen avaruus ja \( \mathcal{ K} \) peiteluokka.
▻▻ \( \mathcal{ K}_n = \{ E \in \mathcal{ K}: \text{ diam} (E) \leq \frac{ 1}{ n} \} \) ;
▻▻ \( \mu ^*_n (A) = \inf \bigg\{ \sum \limits_{ j=1}^{ \infty} h(E_j): E_j \in \mathcal{ K}_n,\ A \subset \bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} E_j \bigg\}, \ \ \ n \in \mathbb{ N} \) ;
▻▻ (lisäksi) \( \mu_n^*(A) \leq \mu_{n+1}^*(A)\) ; ja määritellä \( \mu^*= \lim \limits_{ n \to \infty} \mu_n^* \) .
Lause 12.4 \( \mu^*\) on metrinen ulkomitta.
Huom (Peiteluokka)
(1) \( \mathcal{ K} \) on X:n hieno peiteluokka / fine (grade) covering jos \( \mathcal{ K}_n \) on X:n peiteluokka \( \forall n \in \mathbb{ N} \) ;
(2) Jos \( \mathcal{ K} \) ei ole hieno, niin \( \inf h(\emptyset) = \infty\) .
Propositio Olk \( \mu^*\) esimitasta \( h\) Carathéodoryn konstruktiolla saatu ulkomitta.
▻▻ Jos \( \forall E \in \mathcal{ K}, \varepsilon \gt 0, n \in \mathbb{ N}: \ \exists \text{ jono } E_{k,n} \in \mathcal{ K}_n\) siten, että \( E \subset \bigcup \limits_{ k=1}^{ \infty} E_{k,n} \) ja \( \sum \limits_{ k=1}^{ \infty} h(E_{k,n}) \leq h(E)+ \varepsilon\) :
▻▻ niin ⇒ \( \mu^*(A) = \mu_0^*, \ \ \ \forall A \subset X\) .

Hausdorff-mitta / Hausdorff Measure

Määr / Esim Olk \( X\) metrinen avaruus ja \( 0 \leq s \lt \infty\) ,
Peitteestä \( \mathcal{ K} = \{ E \subset X: E \text{ suljettu} \} \) ja esimitasta \( h:\mathcal{ K}\to [ 0,\infty ], h(E) = (\text{diam}E)^s \).
Carathéodyn konstuktiolla saatua ulkomittaa sanotaan Hausdorffin s-ulotteiseksi mitaksi / (exterior) s-dimensional measure
Merkitään \( \mathcal{ H}^s(A) =\lim \limits_{ \delta \to 0} \mathcal{ H}_\delta^s(A) \) , missä:
▻▻ \( \mathcal{ H}_\delta^s(A) = \inf \{ \sum \limits_{ i=1}^{ \infty}(\text{diam}E_i)^s: E_i \text{ suljettu } A \subset \bigcup \limits_{ i=1}^{ \infty}E_i, \text{diam}E_i \lt \delta \} \) .
Huom 33 (Hausdorff-mitat)
(1) Peikkaluokka vaihtelee (avoimet/suljetutu/kaikki joukot ja pallot);
(2) \( \mathcal{ H}^s \) on metrinen ulkomitta eli Borel-joukot oval \( \mathcal{ H}^s \) -mitallisia;
(3) Ulkomitoilla \( \mathcal{ H}_\delta^s \) on (yleensä) vähän mitallisia joukkoja; \( \mathcal{ H}_\delta^s \) sanotaan Hausdorffin s-sisällöksi / contents;
(4) \( \mathcal{ H}^0 = \#\) .
Lemma 12.5 Olk \( A \subset X, 0\lt s \lt f \lt \infty\) :
(1) \( \mathcal{ H}^s(A) \lt \infty ⇒ \mathcal{ H}^f(A)=0\) ;
(2) \( \mathcal{ H}^s(A) \gt 0 ⇒ \mathcal{ H}^f(A)=\infty\) .
Määr 12.6 Joukon \( A \subset X\) Hausdorff-dimensio on:
▻▻ \( \text{dim}_\mathcal{ H} (A) = \inf \{ s: \mathcal{ H}^s=0 \} =\sup \{ s: \mathcal{ H}^s=\infty \} \) .
Huom 34 (Hausdorff-Dimension)
(1) Jos \( \text{dim}_\mathcal{ H}=s \) , niin voi olla \( \mathcal{ H}^s(A)=0, \mathcal{ H}^s(A)=\infty, 0 \lt \mathcal{ H}^s(A) \lt \infty \) ;
(2) Jos \( 0 \lt \mathcal{ H}^s(A) \lt \infty\) jollain s, niin ⇒ \( s=dim_\mathcal{ H}(A) \) ;
Huom 35 \( \mathbb{ R}^n \) :ssä:
(1) \( \mathcal{ H}^1_\infty \) on 1-ulotteinen ulkomitta \( \mathbb{ R}^n \) :ssä:
▻▻ \( n=1:\mathcal{ H}^1_\infty(A) =m^*(A), \forall A \subset \mathbb{ R} \) ;
▻▻ \( n \geq 2:\mathcal{ H}^1_\infty \big( B(x,r) \big) = 2r\) ;
▻▻ ▻▻ Jos \( J \subset \mathbb{ R}^n \) on jana, niin \( \mathcal{ H}^1_\infty(J)\) on jana \( J\) pitus.:
▻▻ ▻▻ \( \mathcal{ H}^1_\infty \big( \partial B^2(x,r)\big) = \mathcal{ H}^1_\infty(\{ y \in \mathbb{ R}^2: ||x-y||=r \}) = 2r = \text{diam} S^1(x,r) \) .
(2) \( \mathcal{ H}^1\) on parempi 1-ulotteinen mitta. Se sopii pituuden omittaamiseen;
(3) On vakio \( c_n \gt 0\) , jolle \( \mathcal{ H}^n = c_n m^*(A), \forall A \subset \mathbb{ R}^n \) ;
(4) \( \mathcal{ H}^s(\mathbb{ R}^n )=0 \text{ kun } s \gt n\) ,sitten \( dim_\mathcal{ H}(\mathbb{ R}^n ) \leq n \) .
(5) Jos \( A \subset \mathbb{ R}^n\ \ k \) -ulotteinen aliavaruus, niin ⇒ \( dim_\mathcal{ H}(A) =k \) ;
(6) Mittoja \( \mathcal{ H}^s, 0\lt s \lt \infty, s \notin \mathbb{ N} \) käytetään fraktaali tyyppisten joukkojen mittaamiseen.
(7) Jos \( A \subset \mathbb{ R}^n\) , niin ⇒
▻▻ \( \mathcal{ H}^s(tA) = t^s \mathcal{ H}^s(A), \ \ \ \forall t \geq 0 \) ;
▻▻ \( \mathcal{ H}^s(A+t)=\mathcal{ H}^s(A), \ \ \ \forall t \in \mathbb{ R} \) .
Esim 12.7 (1) Cantorin 1/3 joukolle \( dim_\mathcal{ H}(C) = \frac{ \log 2}{ \log 3} \) ja \( 0 \lt \mathcal{ H}^\frac{ \log 2}{ \log 3}(C) \lt \infty \) .

Vaite: \( 2^k\) suljettu väliä joiden pituus on \( \frac{ 1}{ 3^k} \) .
Nyt \( C_k=\bigcup \limits_{ i=1}^{ 2^k} J_{k,i}\) on \( \mathcal{ H} ^s_{\frac{ 1}{ 3^k} } \leq \sum \limits_{ i=1}^{ 2^k} \underbrace{(diamJ_{k,i})^s}_{=1/3^{ks}}=(\frac{ 2}{ 3^s} )^k \) ,
sitten, se suppenee ja on positiivi ⇔ \( \frac{ 2}{ 3^s}=1\) .

Abstraktit mitta-avaruudet / Abstract measure spaces

Määr 13.1 Olk \( X \neq \emptyset, \ \Gamma\ \sigma\) -algebra X:ssä: Joukkofunktio \( \mu: \Gamma \to [ 0,\infty ]\) on (täysadditiivinen) mitta \( \Gamma\) :ssa, jos:
(M1) \( \mu (\emptyset) = 0\) ,
(M2) Jos \( A_1, A_2,..\in \Gamma\) ovat pareittain pistevieraita, \( \mu (\bigcup \limits_{ i=1}^{ \infty} A_i) = \sum \limits_{ i=1}^{ \infty} \mu (A_i) \) .
Tällöin komikkoa \( (X, \Gamma, \mu)\) saotaan mitta-avaruudeksi / measure space ;
\( \mu\) on äärellinen / finite jos \( \mu(X) \lt \infty\) ;
\( \mu\) on \( \sigma\) -äärellinen / sigma-finite jos \( \exists E_i \in \Gamma: \mu(E_i) \lt \infty \text{, ja } X=\bigcup \limits_{ i=1}^{ \infty} E_i\) .
Esim 13.2 (sigma-algebroita)
(1) \( \{ \emptyset, X \}\) pienin, \( \mathcal{ P}(X) \) suurin;
(2) \( \Gamma_{\mu^*}\) ulkomitalle \( \mu^*\) (mitalliset joukot); erityisesti Lebesgue-mitalliset joukot \( \mathcal{ M} \) ;
(3) \( \{\emptyset, X, A, X\setminus A\}, \ \ \ \forall A \subset X\) .
Esim 13.3 (mittoja)
(1) Jokaisessa sigma-algebrassa \( \Gamma\) on ainakin 2 mitta \( \mu_1, \mu_2\) :
▻▻ \( \mu_1(A)=0, \ \ \forall A \in \Gamma\);
▻▻ \( \mu_2(\emptyset)=0, \mu_2 (A) = \infty \text{ kun } \emptyset \neq A \in \Gamma \) ;
(2) Jos \( \mu^*\) on ulkomitta, niin \( (X, \Gamma_{\mu^*}, \mu^*)\) on mitta-avaruus ;
(3) \( (\mathbb{ R}^n, \mathcal{ B}(\mathbb{ R}^n ), m ) \);
(4) \( (X, \mathcal{ P}(X), \delta_{x_0})\);
(5) \( (X, \mathcal{ P}(X), \# \) ;
(6) Jos \( f:\mathbb{ R}^n\to [ 0,\infty ] \) on mitallinen, \( (\mathbb{ R}^n, \mathcal{ M}, \mu(A)=\displaystyle\int_{A} f\ dm) \) on mitta-avaruus.
Esim 13.4 (äärellinen)
(1) \( m\) (Lebesgue-mitta) ei ole äärellinen, mutta on sigma-äärellinen, koska \( \mathbb{ R}^n = \bigcup \limits_{ i=1}^{ \infty} B(0,i) \) ;
(2) \( \delta_{x_0}\) on äärellinen;
(3) Jos \( f \in \mathcal{ L}^1(\mathbb{ R}^n ) \) , niin \( \mu (A) = \displaystyle\int_{A} |f|\ dm \) on äärellinen mitta;

Olk \( (X, \Gamma, \mu)\) mitta-avaruus.

Lause 13.5 Monotonisuus ja subadditiivisuus:
(1) \( A,B \in \Gamma, A\subset B ⇒ \mu(A) \leq \mu(B)\) ;
(2) \( A_i \in \Gamma ⇒ \mu (\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty}A_j ) \leq \sum \limits_{ j=1}^{ \infty} \mu (A_j)\) .
Lause 13.6 \( \exists \mu^*: \) :
(1) \( \forall A \in \Gamma \) on mitallinen;
(2) \( \mu(A)= \mu^*(A), \ \ \forall A \in \Gamma\) .

Tod. Määritellään \( \mu^*(A) = \inf \{ \sum \limits_{ j=1}^{ \infty}\mu(A_j):A_j \in \Gamma, A \subset \bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} A_j \}\) ;
Olkoon \( \varepsilon \gt 0, E \subset X\) , Valitaan joukot \( A_j \in \Gamma\) :
\( E \subset \bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} A_j\) ja \( \sum \limits_{ j=1}^{ \infty}\mu(A_j) \leq \mu^*(E)+ \varepsilon\) .
Tällöin \( \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \leq \mu^*((\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} A_j) \cap A) +\mu^*((\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} A_j) \setminus A) \\ \ \ \ \ \ = \mu((\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} A_j) \cap A) +\mu((\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} A_j) \setminus A) = \mu(\bigcup \limits_{ j=1}^{ \infty} A_j) \leq \sum \limits_{ j=1}^{ \infty}\mu(A_j) \leq \mu^*(E)+ \varepsilon\) .

Määr 13.8 Mitta-avaruus \( (X, \Gamma, \mu) \) on täydellinen, jos \( E \subset \Gamma \) aina, kun \( E \subset A \text{ jolle } \mu(A)=0,\ A \subset \Gamma \).
Lause 13.9 Olkoon \( (X, \Gamma, \mu) \) mitta-avaruus:
Tällöin mitta-avaruus \( (X, \tilde{\Gamma}, \tilde{\mu}) \) on täydellinen mitta-avaruus, missä:
▻▻ \( \tilde{\Gamma} = \{ A \bigcup N: A \in \Gamma \text{ ja } N \subset B,\text{ jolle } \mu(B) =0, \ B \in \Gamma \} \);
▻▻ \( \tilde{\mu}(A \bigcup N ) = \mu(A) \).

MIT-2: Yleistä integraaliteoriaa

Mitalliset funktiot / Measurable functions

Seuraavat ovat samaa kuin Lebesguen mittateoria.
Määr 14.1 Olkoon \( A \in \Gamma\) , funktion \( f:A \to \overline{ R} \) sanotaan olevan \( \Gamma\) -mitallinen jos \( \forall \ a \in \mathbb{ R}: \ f^{-1}(] a, \infty ])\in \Gamma \) .
Lause 14.2-14.3 \( \forall a,b \in \mathbb{ R} \) :
▻▻ \( f\) on mitallinen ⇔ \( \{ x \in A:f(x) \geq a \} \in \Gamma\) ⇔ \( \{ x \in A:f(x) \lt a \} \in \Gamma\) ⇔ \( \{ x \in A:f(x) \leq a \} \in \Gamma\) .
▻▻ \( f\) on mitallinen joss ⇔ \( f^+\) ja \( f^-\) ovat mitallisia.
▻▻ Jos \( f^{-1}(-\infty)\in \Gamma\) ja \( f^{-1}( ] a,b [ )\in \Gamma\) , niin ⇒ \( f\) mitallinen.
▻▻ Jos \( f\) mitallinen, niin ⇒ \( f^{-1}(±\infty)\in \Gamma\) ja \( f^{-1}(\mathcal{ B}(\mathbb{ R} ) )\in \Gamma\) .
Esim 14.4 (mitallisuus)
(1) Jos \( \Gamma = \mathcal{ P}(X) \), niin kaikki funktiot ovat mitallisia \( \#, \delta_{x_0} \);
(2) Jos \( \Gamma = \{ \emptyset, X \}\), niin vain vakiofunktiot ovat mitallisia;
Lemma 14.5 Olkoon \( (X, \Gamma, \mu)\) mitta-avaruus:
(1) \( B \subset A \in \Gamma\) ja \( f:A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) mitallinen, niin ⇒ \( f|_B:B \to \overline{ \mathbb{ R} } \) on mitallinen;
(2) \( A_i \subset \Gamma\) erillisia, \( f_i:A_i \to \overline{ \mathbb{ R} } \) , niin ⇒ \( f_i: \bigcup \limits_{ i=1}^{ \infty} A_i \to \overline{ \mathbb{ R} } \) on mitallinen;
(3) \( f\) mitallinen joss ⇔ \( \tilde{f}\) mitallinen;
(4) \( f\) mitallinen joss ⇔ \( f^+, f^-\) mitallisia;
(5) \( f\) mitallinen niin ⇒ \( |f|\) mitallinen.
Lause 14.6 \( f,g\) mitallisia, niin ⇒ \( f+g,\ fg\) ovat mitallisia.

Luku ala ja yläraja-arvo / Limit superior and inferior

Määr 14.7 Olk jono \( (a_i), \ \ \ a_i \in \overline{ \mathbb{ R} } \) :
\( c_k = \inf \limits_{i\geq k} a_i \) on kasvava;
\( b_k = \sup \limits_{i\geq k} a_i \) on vähenevä;
\( \liminf \limits_{ i\to \infty} a_i = \lim \limits_{ k\to \infty} c_k = \sup \limits_{ k \in \mathbb{ N} } c_k\) ;
\( \limsup \limits_{ i\to \infty} a_i = \lim \limits_{ k\to \infty} b_k = \inf \limits_{ k \in \mathbb{ N} } b_k\) .
Esim \( a_i = (-i)^i\) jonolle \( (-1, 2^2,-3^3, 4^4,…)\) on \( \liminf \limits_{ i\to \infty} a_i = -\infty,\ \limsup \limits_{ i\to \infty} a_i = \infty\) .
Luase 14.8 Ominaisuuksia:
(1) \( \liminf \limits_{ i\to \infty} a_i \leq \limsup \limits_{ i\to \infty} a_i\) ;
(2) \( \liminf \limits_{ i\to \infty} a_i = \limsup \limits_{ i\to \infty} a_i\) joss ⇔ on raja-arvo \( \lim \limits_{ i\to \infty} a_i \in \overline{ \mathbb{ R} } \) ;
(3) Jonolla \( (a_i)\) on osajono \( (a_{i_j}) \text{ ja } (a_{i_k}) \) , joille \( \lim\limits_{ j \to \infty} a_{i_j}= \liminf\limits_{ k \to \infty} a_i\) ja \( \lim\limits_{ k \to \infty} a_{i_k} = \limsup\limits_{ k \to \infty} a_i\) ;
(4) \( a_i \leq M, \ \forall i \gt i_o\) , niin ⇒ \( \limsup\limits_{ i \to \infty} a_i \leq M\) ;
(5) \( \lim\limits_{ i \to \infty} a_i = L\) , joss ⇔
▻▻ \( \forall \varepsilon \gt 0, \ \exists N \in \mathbb{ N}: a_i \lt L + \varepsilon, \ \forall i \geq N \text{ ja } a_i \gt L- \varepsilon \) äärettömän monella indeksilla.

• Funktiojonojen ylä- ja alaraja-arvofunktiot määritelemä

Määr 14.9 funktiojonoille:
Alaraja-arvo: \( \lim \limits_{\overline{ k\to \infty}} f_i =\liminf \limits_{ i\to \infty} f_i = \sup \limits_{ k \in \mathbb{ N} } \inf \limits_{i \geq k} f_i\) ;
Yläraja-arvo: \( \overline{ \lim \limits_{ k\to \infty}} f_i =\limsup \limits_{ i\to \infty} f_i = \inf \limits_{ k \in \mathbb{ N} } \sup \limits_{i \geq k} f_i\) ;
missä \( (\liminf\limits_{ k \to \infty} f_i)(x) = \liminf\limits_{ k \to \infty} f_i(x), \ (\limsup\limits_{ k \to \infty} f_i)(x) = \limsup\limits_{ k \to \infty} f_i(x)\) .
Lause 14.10 Olk \( A \in \Gamma, \ f_i A \to \overline{ \mathbb{ R}} \) mitallisia. Tällöin \( \sup\limits_{ i \in \mathbb{ N} } f_i, \inf\limits_{i \in \mathbb{ N} } f_i, \limsup\limits_{ i \to \infty} f_i, \liminf\limits_{ i \to \infty} f_i\) ovat mitallisia.
Seuraus 14.11 \( \forall x \in A\) on raja-arvo \( \lim\limits_{ i \to \infty} f_i (x) \in \overline{ \mathbb{ R} } \) . Tällöin rajafunktio \( f= \lim\limits_{ i \to \infty} f_i\) on mitallinen.

Funktion integraali / Funktion integral

Määr 14.12 \( f:X \to \mathbb{ R} \) on yksinkertainen jos:
▻▻ on joukot \( A_1,…,A_k \in \Gamma\) ja luvut \( c_1,…,c_k \in \mathbb{ R}: f(x) = \sum \limits_{ i=1}^{ k} c_i \large\chi\normalsize_{A_i}, \ \ \forall x \in X \) ;
▻▻ Tällöin merkitään \( f \in \mathcal{ Y}_\Gamma \) .
Jos \( f \in \mathcal{ Y}_\Gamma \) , niin sillä on normaalisitys:
▻▻ \( f(x) = \sum \limits_{ i=1}^{ l}c_i \large\chi\normalsize_ {B_i} (x), \ \ x \in X \) , missä
▻▻ \( B_i \in \Gamma \) ovat erillisiä, \( X = \bigcup \limits_{i=1}^{ l} B_i\) ja \( b_i \neq b_j \text{, kun }i \neq j \).
Lause 14.13 Olk \( A \in \Gamma,\ f:A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) on mitallinen, joss ⇔
▻▻ on (kasvava) jono \( (f_i) \subset \mathcal{ Y}_\Gamma: \lim\limits_{ i \to \infty} f_i(x) = f(x), \ \forall x \in A \) .
Määr 14.14 Olk \( f \in \mathcal{ Y}_\Gamma, \ f(x) = \sum \limits_{ i=1}^{ k}c_i \large\chi\normalsize_ {A_i}(x) \) . Jos \( E \in \Gamma\) , niin ⇒
▻▻ \( I(f,E)=I(f,E, \mu)= \sum \limits_{ i=1}^{ k} c_i\ \mu(A_i \cap E) \) , on integraali yli joukon mitan \( \mu\) suhteen.
Esim 14.15 \( (\mathbb{ N}, \mathcal{ P}(\mathbb{ N} ), \# )\) ja \( f:\mathbb{ N} \to [ 0,\infty [,\ f(n)= 2^{-n}, \ \forall n \in \mathbb{ N} \) .

Etsitään kasvava jono yksinkertaisia funktioita \( f_i : \mathbb{ N} \to [ 0,\infty [ \) , joille \( f_i\to f\) kun \( i\to \infty\) ja lasketaan integraalit \( I(f_i, \mathbb{ N} )\) ja raja-arvo \( \lim\limits_{ i \to \infty} I(f_i, \mathbb{ N} )\) ;
Määritellään \( f_i(n)= \begin{cases} 2^{-n}, &\text{ kun } n \leq i \\ 0, &\text{ kun } n \gt i \end{cases} \) , niin se on yksinkertaisia, ja sen jono on kasvava, ja lisäksi:
\( I(f_i, \mathbb{ N}, \# )= \sum \limits_{ j=0}^{ i} 2^{-j}\#(\{j\}) = \sum \limits_{ j=0}^{ i} 2^{-j} = 2-2^{-i} \overset{i \to \infty}{\to } 2 \) .

Esim 14.16 \( (\mathbb{ N}, \mathcal{ P}(\mathbb{ N} ), \# ),\ f(x)= 3 \large\chi\normalsize_ {\{1,2,3\}} (x)+\large\chi\normalsize_ {\{1,2,5\}}(x), \ \forall n \in \mathbb{ N} \) .

Nyt, \( f(x) = 0 + 1 \large\chi\normalsize_ {\{5\}}(x) + 3 \large\chi\normalsize_ {\{3\}}(x) + 4 \large\chi\normalsize_ {\{1,2\}}(x)\) on normaaliesitys ja:
\( I(f, \mathbb{ N}, \# )= 0 \cdot \infty + 1 \cdot 1+ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 =12\) .

Määr 14.17 Olk \( A \in \Gamma, \ f:A\to [ 0,\infty ]\) mitallinen. Funktion \( f\) integraali yli joukon \( A\) mitan \( \mu\) suhteen on:
▻▻ \( \displaystyle\int_{A} f\ d\mu = \sup \{ I(u, A, \mu): u \in \mathcal{ Y}^+_\Gamma,\ 0\leq u \leq f \text{ joukossa } A \} \) .
Määr 14.18 Jos \( \displaystyle\int_{A} f^- \ d\mu \lt \infty \textbf{ tai } \displaystyle\int_{A} f^+ \ d\mu\lt \infty \) , niin funktion \( f\) integraali yli joukon \( A\) mitan \( \mu\) suhteen on:
▻▻ \( \displaystyle\int_{A} f\ d\mu = \displaystyle\int_{A}^+ f\ d\mu – \displaystyle\int_{A}^- f\ d\mu \) ;
Funktio \( f\) on integroituva joukossa \( A\) , eli \( f\in \mathcal{ L}^1(A) \) jos \( \displaystyle\int_{A}^+ f\ d\mu\lt \infty, \textbf{ ja } \displaystyle\int_{A}^- f\ d\mu\lt \infty \) .
Huom 38 \( f\in \mathcal{ L}^1(A) \) joss ⇔ \( \displaystyle\int_{A} |f|\ d\mu \lt \infty\) .
Määr 14.19 Ominaisuus \( p=p(x)\) on voimassa mitan \( \mu\) suhteen melkein kaikilla \( x \in A / \ \mu- \) melkein kaikilla \( A\) :ssa , jos on \( N \in \Gamma\) , jolle \( \mu(N)=0,\ p(x)\) on totta kaikilla \( x \in A \setminus N\) .

Konvergenssilauseet / Convergence theorems

Lause 14.20 (ei-negatiivisille jonoille) olkoot \( (X, \Gamma, \mu),\ f_i:A \to [ 0,\infty ]\) :
MK-Lause: jos jono \( (f_i)\) on kasvava, niin \( \displaystyle\int_{A} \lim\limits_{ i \to \infty} f_i \ d\mu = \lim\limits_{ i \to \infty} \displaystyle\int_{A} f_i\ d\mu \) ;
Fatoun lemma: \( \displaystyle\int_{A} \liminf\limits_{ i \to \infty} f_i\ d\mu \leq \liminf\limits_{ i \to \infty} \displaystyle\int_{A} f_i\ d\mu\) ;
Lause 14.22 Olkoon \( (X, \Gamma, \mu),\ f:X \to [ 0,\infty ]\) mitallinen. Tällöin:
▻▻ \( v:\Gamma \to [ 0,\infty ],\ \ \ v(A)=\displaystyle\int_{A} f\ d\mu, \ \ \ A \in \Gamma \) on mitta sigma-algebrassa.
▻▻ eli. täysadditiivisuus ja \( v(\emptyset)=0\) .
Lause 14.23 Olkoot \( f,g \in \mathcal{ L}^1(A;\mu), \ \ \ a,b\in \mathbb{ R} \) :
▻▻ \( \displaystyle\int_{A} af + bg\ d\mu = a \displaystyle\int_{A} f\ d\mu + b \displaystyle\int_{A} g\ d\mu \).
Lause 14.24 Olkoot \( f,g \in \mathcal{ L}^1(A;\mu)\) :
(1) \( |f(x)| \lt \infty \ \ \mu-m.k.\ x\in A\) ;
(2) \( f \leq g\ \mu-m.k.\) niin ⇒ \( \displaystyle\int_{A} f\ d\mu \leq \displaystyle\int_{A} g\ d\mu \) ;
(3) Chebyshev/Tchebysheff: \( \mu \big( \{ x\in A: |f(x)| \gt \lambda \} \big) \leq \frac{ 1}{ \lambda} \displaystyle\int_{A} |f|\ d\mu \) ;
(4) \( \displaystyle\int_{A} |f|\ d\mu=0 \) joss ⇔ \( f(x)=0 \ \mu-m.k.\ x \in A\) .
Lause 14.26 DK-Lause
Olkoon \( (X,\Gamma,\mu),\ A \in \Gamma,\ \ \ f,f_i:A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) mitallisia funktioita, joille \( \lim\limits_{ i \to \infty} f_i(x) =f(x) \ \ \mu-m.k.\ x \in A\) :
Jos on \( g \in \mathcal{ L}^1(A;\mu) \) : \( \forall i \in \mathbb{ N},\ \ \ |f_i(x)|\leq g(x)\ \ \mu-m.k.\ x \in A \) , niin:
▻▻ \( \displaystyle\int_{A} f\ d\mu = \lim\limits_{ i \to \infty} \displaystyle\int_{A} f_i\ d\mu \) .
Esim 14.27

Olkoon \( ([ 0,\infty [ , \mathcal{ P}([ 0,\infty [, \delta_1) ),\ \ \ f_i:[ 0,\infty [ \to \mathbb{ R},\ \ f_i(x)=\cos (ix)e^{-ix} \)

Nyt \( \lim\limits_{ i \to \infty} f_i = f = \large\chi\normalsize_{ 0} \) ;
(1) Diracin mitalle kaikki funktiot ovat mitallisia;
(2) \( |f_i(x)| = | \cos (ix) e^{-ix}| \leq 1 =: g(x)\) ;
(3) \( g \in \mathcal{ L}^1([ 0,\infty [ , \delta_1) \) .
Sitten DK-Lause: \( \lim\limits_{ i \to \infty} \displaystyle\int_{ [ 0,\infty [ } f_i\ d\delta_1 = \displaystyle\int_{ [ 0,\infty [ } f\ d\delta_1 = f(1) = 0\) .
Lause 14.29 Cavalierin kaava – Integraalikaava
\( \displaystyle\int_{A} f^p\ d\mu = p \displaystyle\int_{ 0}^{ \infty} t^{p-1} \mu \big( \{x\in A: f(x) \lt t\} \big) \ dt \) .

Lp-avaruuksista / Lp spaces

Määr 14.30 Olkoon \( f:A \to \overline{ \mathbb{ R} } \) mitallinen, \( L^p \bf{ -normi} \) on:
▻▻ \( ||f||_p = ||f||_{\mathcal{ L}^p(A) } = \bigg( \displaystyle\int_{A} |f|^p\ d\mu \bigg)^{1/p} \in [0,\infty],\ \ \ 1\leq p\lt \infty\) ;
▻▻ \( ||f||_\infty = ||f||_{\mathcal{ L}^\infty (A) } = \inf \{t \gt 0:|f(x)| \lt t\ \ \ \mu-m.k.\ x \in A\}\) .
Lause 14.31 Olkoon \( (X, \Gamma, \mu)\) mitta-avaruus ja \( A \in \Gamma, \ 1\leq p \leq \infty\) . Tällöin \( L^p(A)\) on Banach-avaruus.

Kertaus

MIT-1 Kertaus

• Definition / Määritelmä

\( v(I) = \prod \limits_{ i=1}^{ n} (b_i-a_i)\) ;
\( m*(A) = \sup \big\{ \sum \limits_{i=1}^{\infty} v(I_i): A \subset \bigcup \limits_{i=1}^{\infty} I_i \big\}\) ;
\( A \in \mathcal{M} \Leftrightarrow m^*(E)=m^*(E \bigcap A) + m^*(E \setminus A)\) ;
\( f \in \mathcal{ Y}^+: I(f,E)= \sum \limits_{ i=1}^{ k} a_i\ m (A_i \bigcap E) \) ;
\( f\ mitallinen \Leftrightarrow f^{-1} (]a, \infty]) \in \mathcal{ M} \) ;
\( f^+: \displaystyle\int_{A} f\ dm = \sup \big\{ I (u,A): u \in \mathcal{ Y^+}, u \leq f \big\} \) ;
\( \displaystyle\int_{A} f\ dm = \displaystyle\int_{A} f^+\ dm – \displaystyle\int_{A} f^-\ dm \) ;
\( f \in \mathcal{ L^1}: \displaystyle\int_{A} f^{+/-}\ dm \lt \infty \) .

• Tip / Vihje

to prove \( m^*: m \leq \inf A \lt m+\varepsilon \) ;
to prove \( f \in \mathcal{ L^1} \) :
(a) \( f=u-v \) ;
(b) \( |f| \leq g\) ;
(c) \( |f| \in \mathcal{ L^1} \) .
to calculate limit:
(S1) examine all \( f_j\) measurable;
(S2) limit integrable;
(S3) monotone, bounded (RK-lause requires \( m(A) \lt \infty\) )
Vitali set not L-measurable;
Cantor set uncountable but measure = 0.
some useful transformation:
(a) \( I_\varepsilon = ( a_1-\varepsilon, b_1+\varepsilon ) \times … \times ( a_n-\varepsilon, b_n+\varepsilon )\) .
(b) \( \{x\}=I_j = (x_1-\frac{1}{j}, x_1+\frac{1}{j}) \times … \times (x_n-\frac{1}{j}, x_n+\frac{1}{j})\) .
(c) \( [ a, \infty ] = \bigcap \limits_{ i=1}^{ \infty} ] a- \frac{ 1}{ i}, \infty ]\) .
(d) \( [ -\infty, a] = f^{-1} ( ]a-i, a] ) \bigcup f^{-1} (-\infty) \) .

MIT-2 Kertaus

Jos \( f \in \mathcal{ L}^1(A) \) :
\( \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists \delta \gt 0: \displaystyle\int_{A \bigcap E} |f|\ dm \lt \varepsilon \text{ , kun } m(E) \lt \delta \) Absoluuttisesti jatkuva:
\( \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists \delta \gt 0: \sum\limits_{ j=1}^k |f(b_j)-f(a_j)| \lt \varepsilon \text{ , kun } m(\bigcup\limits_{ j=1}^k ] a_j,b_j [ ) \lt \delta \) ;
⇔ \( f\) on derivoituva m.k. ja \( f(x) = f(a) + \displaystyle\int_{ [ a,x ]} f’\ dm \) ;
(Kokonais)Heilahtelu:
\( V_f(a,b) = \sup \big\{ \sum\limits_{ i =1}^k |f(x_i)-f(x_{i-1})|: a=x_0\lt … \lt x_k =b \big\} \) .
\( L^p \) normi:
\( ||f||_p = \bigg( \displaystyle\int_{A} |f|^p\ dm \bigg) ^{1/p}\) ;
Cavaliers kaava:
\( \displaystyle\int_{A} |f|^p\ dm = \displaystyle\int_{0}^\infty m(\{|f|^p\gt t\}) \ dt = p \displaystyle\int_{0}^\infty s^{p-1} m(\{|f|\gt s\}) \ ds\) .
Hölderin epäyhtälö:
\( \displaystyle\int_{A} |fg|\ dm \leq \bigg( \displaystyle\int_{A} |f|^p\ dm \bigg)^{1/p} \bigg( \displaystyle\int_{A} |g|^q\ dm \bigg)^{1/q}, \text{ missä } \frac{ 1}{ p}+ \frac{ 1}{ q}=1 \) .
Ulkomitta:
(M1) \( \mu^*(\emptyset) = 0\) ;
(M2) \( A \subset B ⇒\ \mu^*(A) \leq \mu^*(B) \) ;
(M3) \( A_i \subset X ⇒ \ \mu^*( \bigcup\limits_{ i =1}^\infty A_i ) \leq \sum\limits_{ i =1}^\infty \mu^*(A_i) \) .
\( \mu^*\) mitallinen:
\( \mu^*(E) = \mu^*(E \bigcap A) + \mu^*(E \setminus A), \ \forall E \subset X\) .
σ-algebra:
(M1) \( \emptyset \in \Gamma\) ;
(M2) \( A\in \Gamma ⇒ \ X \setminus A \in \Gamma \) ;
(M3) \( A_i \in \Gamma ⇒ \ \sum\limits_{ i=1}^\infty A_i \in \Gamma \) ;
(Täysadditiivinen) mitta:
(M1) \( \mu (\emptyset) =0\) ;
(M2) \( A_i \text{ erillisia} ⇒ \ \mu^*( \bigcup\limits_{ i =1}^\infty A_i ) =\sum\limits_{ i =1}^\infty \mu^*(A_i) \) .
Peite:
(M1) \( \emptyset \in \mathcal{ K} \) ;
(M2) \( \exists E_i \in \mathcal{ K}: X = \bigcup\limits_{ i =1}^\infty E_i \) .
Carathéodoryn konstruktio:
\( \mathcal{ K}_n = \{ E \in \mathcal{ K}: \text{ diam}E \leq \frac{ 1}{ n} \} \) ;
\( \mu^*_n(A) = \inf \bigg\{ \sum\limits_{ i =1}^\infty h (E_i): E_i \in \mathcal{ K}_n,\ A \subset \sum\limits_{ i =1}^\infty E_i \bigg\}\) ;
\( \mu^*(A) = \lim\limits_{ n \to \infty} \mu^*_n(A) = \sup\limits_{ n \in \mathbb{ N} } \mu^*_n(A) \) .
Hausdorff-mitat:
\( \mathcal{ K} = \{ E \subset X: E \text{ suljettu} \} \) ;
\( \mathcal{ H}_\delta^s(A) = \inf \ \bigg\{ \sum\limits_{ i =1}^\infty (\text{ diam} E_i)^s: E_i \in \mathcal{ K},\ A \subset \sum\limits_{ i =1}^\infty E_i ,\ \text{ diam}E_i \leq \delta \bigg\} \) ;
\( \mathcal{ H}^s(A) = \lim\limits_{ \delta\to 0} \mathcal{ H}_\delta^s(A) \) .
Hausdorff-dimensio:
\( \text{ dim}_\mathcal{ H} = \inf \{ s: \mathcal{ H}^s(A) =0 \} = \sup \{ s: \mathcal{ H}^s(A) = \infty \} \) .
Yli joukko \( f(x) = \sum\limits_{ i =1} ^k c_i \large\chi\normalsize_{ A_i}(x) [latex] :
[latex] I (f,E; \mu ) = \sum\limits_{ i =1} ^k c_i \mu (A_i \bigcap E)\) ;
Integraalli \( \mu\) suhteen:
\( \displaystyle\int_{A} f\ d \mu = \sup \big\{ I (u,A; \mu): u \in \mathcal{ Y} _\Gamma^+,\ 0\leq u \leq f \big\} \) .

You must be logged in to post a comment.