Matriisilaskentaa

Course Summary

Kertaus
Määritelmät \( \begin{cases} \text{Jälki } & tr( \mathbf{ A} ) = \sum\limits_{ i=1}^{ p}a_{ii} \\ \text{Kofaktori }& A_{ij} = (-1)^{i+j} det (\mathbf{ A}(i,j) ) \\\text{Käänteismatriisi }& \mathbf{ AA}^{-1} = \mathbf{ A}^{-1} \mathbf{ A} = \mathbf{ I}\\ \text{Epäsingulaarinen} &|\mathbf{ A} |=0 \text{ ⇔ lineaarisesti riippumattomia} \\ \text{Ortogonaalinen} & \mathbf{ AA’}=\mathbf{ A’A} = \mathbf{ I} \\ \text{Neliömuodo} & Q(\mathbf{ x} ) = \mathbf{ x’Ax} = \sum\limits_{ i=1}^{ n} \sum\limits_{ j=1}^{ n} a_{ij}x_i x_j \\ \text{Positiivisesti definiitti} & \mathbf{ A}\gt 0 ⇔ \mathbf{ x’Ax}\gt 0,\ \forall \mathbf{ x}\neq \mathbf{ 0} \\ \text{Idempotentti} & \mathbf{ A}^2 = \mathbf{ A} \\ \text{Projektio} & \text{symmetrinen ja idempotentti} \\ \text{Välisen kulma} & \cos \alpha = \frac{ \mathbf{ a’b} }{ \mathbf{ |a||b|} } \\ \text{Ominaisarvo} & |\mathbf{ A} – \lambda_i \mathbf{ I} |=0 \\ \text{Ominaisvektori} & \mathbf{ A} \gamma_i = \lambda_i \gamma_i \\ \text{Ominaisarvohajotelma} & \mathbf{ A = Q \Lambda Q}^{-1} \end{cases} \)

Kaikille matriisille \( \begin{cases} (\mathbf{ AB} )’ = \mathbf{ B}’ \mathbf{ A}’ \\ tr(\mathbf{ AB} )=tr(\mathbf{ BA} ) = \sum\limits_{ i=1}^{ p} \sum\limits_{ j=1}^{ p}a_{ij}b_{ji} \\ \text{ kaksi identtistä riviä } ⇒ |\mathbf{ A} |=0 \\ | \ c \mathbf{ A} | = c^p |\mathbf{ A}| \\ |\mathbf{ AB} | = \mathbf{ |A||B|} \\ | \mathbf{ A} ^{-1}| = \frac{ 1}{ |\mathbf{ A}| } \\ (\mathbf{ A}’ )^{-1} = (\mathbf{ A}^{-1} )’ \\ (\mathbf{ AB} )^{-1} = \mathbf{ B}^{-1} \mathbf{ A}^{-1} \\ \end{cases} \)

Ortogaaliselle matriisille \( \begin{cases} \mathbf{ A ^{-1}=A’} \\ |A| = ±1 \\ \mathbf{ AB} \text{ ortogaalinen ⇔ } \mathbf{ A} \text{ ja } \mathbf{ B} \text{ ortogonaalisia} \\ \end{cases} \)

Ominaisarvot, ominaisvektorit \( \begin{cases} \mathbf{ A} \text{:lla ja } \mathbf{ CAC}^{-1} \text{:llä on samat ominaisarvot} \\ \exists \mathbf{ Q:\ Q^{-1}AQ = \Lambda =}diag(\lambda_1,\dots, \lambda_p) \\ |\mathbf{ A} | = \prod\limits_{ i=1}^{ p}\lambda_i \\ tr(\mathbf{ A} )= \sum\limits_{ i=1}^{ p}\lambda_i \\ \mathbf{ A}^{-1} \text{:n on ominaisarvot } \frac{ 1}{\lambda_1 },\dots, \frac{ 1}{ \lambda_p} \\ c \mathbf{ A} \text{:n on ominaisarvot } {c\lambda_1 },\dots, {c \lambda_p} \\ \Gamma = [\gamma_1,\dots,\gamma_p] \text{ ortogonaalinen} \begin{cases} \mathbf{ A\Gamma = \Gamma A} \\ \mathbf{ \Gamma’A\Gamma=\Lambda}\\ \mathbf{ A= \Gamma \Lambda \Gamma’}= \sum\limits_{ i=1}^{ p}\lambda_i \gamma_i \gamma_i’ \end{cases} \\ \mathbf{ A}\gt 0 ⇔ \lambda_i\gt 0 \\ \mathbf{ A}^k = \mathbf{ \Gamma\Lambda}^{k} \mathbf{ \Gamma},\ k =-1,1,2,3,\dots \text{ ja rationaalisilla}\frac{ r}{ s} \end{cases} \)

Matriisialgebran alkeita

Notaatioita

Määr \( m \times n\) eli. \( m\) riiviä \( n\) saraketta matriisi: \( \mathbf{ A} =(a_{ij})=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \) ;
▻▻ Pystyvektori, esim: \( \mathbf{ b} = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots \\b_n \end{pmatrix} \) ;
▻▻ Vakaavektori, esim: \( \mathbf{ c} = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 &\cdots &c_n \end{pmatrix} \) .

Matriisien yhteenlasku ja kertolasku

Määr (Summa) \( A,B \ \ m \times n \) matriiseja. Summa on\( A+B=(a_{ij}+b_{ij})\) .
Määr (Tulo) \( A \ \ m\times p\) matriisi ja \( B \ \ p \times n\) matriisi. Tulo on \( AB = (c_{ij})\) , jossa:
▻▻ \( c_{ij} = (A)_{i \cdot} (B)_{\cdot j} = \sum \limits_{ k=1}^{ p}a_{ik}b_{kj} \) .
Määr (Tulo) Skalaarin \( \alpha\) ja matriisin \( A\) tulo on \( \alpha A = A \alpha= (\alpha a _{ij})\) .
Lause Olkoot \( \alpha, \beta \) skalaareja ja \( A, B, C\) matriiseja:
(1) \( A+B = B+A\) ;
(2) \( A+(B+C) = (A+B)+C\) ;
(3) \( \alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B\) ;
(4) \( (\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A\) ;
(5) \( A -A = A + (-A) = (0)\) ;
(6) \( A(B+C) = AB+AC\) ;
(7) \( (A+B)C = AC + BC\) ;
(8) \( (AB)C = A(BC)\) .
Huom \( AB \neq BA\) .

Matriisin transpoosi

Määr (Transpoosi) \( A’=(a_{ij})’ = (a_{j_i})\) .
Lause Olkoot \( \alpha, \beta \) skalaareja ja \( A, B, C\) matriiseja:
(1) \( (\alpha A)’ = \alpha A’\) ;
(2) \( (A’)’ = A\) ;
(3) \( (\alpha A + \beta B)’ = \alpha A’ + \beta B’\) ;
(4) \( (AB)’ = B’A’\) .

Matriisin jälki/trace

Määr Olkoon \( A \ \ n \times n \) neliömatriisi. Jälki on \( tr (A) = \sum \limits_{ i=1}^{ n} a_{ii}\) .
Lause Olkoot \( \alpha, \beta \) skalaareja ja \( A, B, C\) matriiseja:
(1) \( tr(A’)=tr(A)\) ;
(2) \( tr(\alpha A) = \alpha\ tr(A)\) ;
(3) \( tr(A+B) = tr(A)+tr(B)\) ;
(4) \( tr(AB) = tr(BA)\) ;
(5) \( tr(AA’)=0 ⇔ A =(0)\) .

Determinantti

Määr Olkoon \( A \ \ m\times m\) neliömatriisi. \( |A| = det(A) = \begin{cases} \sum (-1)^{\#(i_1,i_2…,i_m)}a_{1i_1}a_{2i_2} \cdots a_{mi_m} \\ \sum (-1)^{\#(i_1,i_2…,i_m)}a_{i_1 1}a_{i_2 2} \cdots a_{i_m m}\end{cases} \) .
Lause Olkoon \( A \ \ m \times m\) neliömatriisi:
▻▻ Poista i:s riivi ja j:s sarake. Merkitään: \( A_{ij} := (-1)^{i+j}m_{ij} \ \ \ A\) :n alkiota \( a_{ij}\) vastaava kofaktori/coressponding cofactor. jossa
▻▻ ▻▻ \( m_{ij}\) on determinantti \( (m-1)\times (m-1)\) matriisista.
▻▻ \( |A| = \sum \limits_{ j=1}^{ m}a_{ij}A_{ij}= \sum \limits_{ j=1}^{ m}a_{ji}A_{ji} \text{ , kun } m \geq 3 \) .
▻▻ ▻▻ \( |a_{11}|= a_{11}, \ \ \ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21} \).
Lause Olkoon \( \alpha\) skalaari ja \( A \ \ m\times m\) matriisi:
(1) \( |A| = |A’|\) ;
(2) \( |\alpha A| = \alpha^m |A|\) ;
(3) \( |diag(a_{11},\dots, a_{mm})|= \prod \limits_{ i=1}^{ m} a_{ii} \) ;
(4) Jollain riivilla/sarakkella alkiot ovat 0, niin ⇒ \( |A| = 0\) ;
(5) Kaksi riiviä/saraketta lineaarisesti riippuvia, niin ⇒ \( |A| = 0\) ;
(6) Kahden rivin/sarakkeen paikkojen vaihtaminen keskenään vaihtaa determinantin etumerkin / change position of two rows/columns, sign changes. ;
(7) Yhden rivin/sarakkeen alkiot kerrotaan vakiolla \( \alpha\) , niin ⇒ determinantti tulee kerrottua myös \( \alpha\) / one row/column times \( \alpha\) , det times \( \alpha\) ;
(8) Determinantti pysyy muuttumattomana, jos matriisin riviin/sarakkeeseen lisätään jonkin toisen rivin/sarakkeen monikerta / Adding a scalar multiple of one row/column to another row/column does not change the value of the determinant..
Lause \( |AB|=|BA|=|A||B|\)

Käänteismatriisi

Esim (Lineaarinen regressiomalli)
Olkoon \( y_{i} = x_{i1} \beta_1+ x_{i2} \beta_2 + \cdots +x_{ip} \beta_p +\varepsilon_i\) .
Matriisien avulla: \( Y=X\beta + \varepsilon\) , jossa \( Y=(y_1,…,y_n)’,\ \beta = (\beta_1,…,\beta_p)’,\ X = (x_1,…,x_n)’, \ \varepsilon =(\varepsilon_1,…,\varepsilon_n)’\) .
Jäännösneliösumma (square sum of error terms): \( S(\beta) = \sum \limits_{ i=1}^{ n} (y_i – x_i’\beta )^2 \) .
▻▻ Parametrien \( \beta_j\) estimoimiseen käytetään pienimmän Jäänösneliösumman;
▻▻ (derivoimalla \( S(\beta) \ \ \ \beta\) -suhteen = 0, saadaan ) \( X’X\beta = X’y\) ;
▻▻ Jos \( \exists\ A: A(X’X) = I_p\) , sadaan: \( AX’X\beta=AX’y \ \ ⇔ \ \ I_p \beta = A X’y\ \ ⇔ \ \ \beta= AX’y\).
Määr \( \forall \) Ei-singulaarinen \( A \) (eli. \( |A| \neq 0\) ) \( ,\ \ \exists \ A^{-1}: A^{-1}A=AA^{-1}=I_m\) .
Lause Olkoon \( \alpha \neq 0\) skalaari ja \( A,B \ \ m\times m\) ei-singulaarisia matriisia:
(1) \( (\alpha A)^{-1} = \alpha^{-1} A^{-1}\) ;
(2) \( (A’)^{-1} = (A^{-1})’\) ;
(3) \( (A^{-1})^{-1}=A\) ;
(4) \( |A^{-1}| = |A|^{-1}\) ;
(5) \( \big( diag(a_{11},\dots,a_{mm}) \big)^{-1} = diag(a_{11}^{-1},\dots,a_{mm}^{-1}) \) ;
(6) \( A=A’ ⇒ A^{-1} = (^{-1})’\) ;
(7) \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\) .

R-Koodia

 
> A B 2*(A+B)
> A%*%B
> det(A)
> solve(A) #invA = A^-1
 

Vektoriavaruudet

Määritelmä

Määr Olkoon \( \mathbf{ x}_1,\dots,\mathbf{ x}_n\ \ p \times 1 \) vektoreita.
Niiden vektoriavaruus koostuu kaikista niiden muodostamista lineaarikombinaatioista / composed of all its linear combinations, t.s.:
▻▻ \( \{\mathbf{ y}: \mathbf{ y}= \sum \limits_{ i=1}^{ n} \alpha_i \mathbf{ x}_i,\ \ a_i \in \mathbb{ R} \}\).
Määr Olkoon \( \mathbf{ X} \ \ n\times p\) matriisi.
Sen Sarakeavaruus \( \mathcal{ R} (X) \) muodostuu sarakkeiden lineaarikombinaatioista, t.s.:
▻▻ \( \mathcal{ R}(X) = \bigg\{ \mathbf{ y}:\mathbf{ y} = \sum \limits_{ i=1}^{ p} \beta_i \mathbf{ x}_i = \mathbf{ X} \boldsymbol{\beta},\ \ \boldsymbol\beta \in \mathbb{ R}^p \bigg\} \) .

Lineaarinen riippumattomuus ja riippuvuus

Määr Vektorit \( \mathbf{ x}_1, \dots, \mathbf{ x}_n \) ovat lineaarisesti riippumattomia jos:
▻▻ Yhtälön \( \sum \limits_{ i=1}^{ n} \alpha_i \mathbf{ x}_i =0 \) ainoa ratkaisu on \( \alpha_1 = \cdots = \alpha_n =0\);
▻▻ Jos löytyy muita ratkaisuja, niin vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.
Lause Vektorit ovat linearrisest riippuvia, joss ⇔ vähintää yksi vektori pystytään ilmaisemaan muiden vektorien lineaarikombinaationaa (at lease one is another’s linear combination).
Lause Olkoon \( \mathbf{ X} \ \ m\times m \) matriisi, jonka sarkkeet ovat \( \mathbf{ x}_1,\dots,\mathbf{ x}_m \). Silloin:
▻▻ \( |\mathbf{ X} | \neq 0, \text{ joss ⇔ ⇔ vektorit } \mathbf{ x}_1,\dots,\mathbf{ x}_m \) ovat lineaarisesti rippumattomia.

Vektoriavaruuden kannat ja dimensio

Määr Vektoriavaruuden \( S\) osajoukko \( V=\{\mathbf{ x}_1,\dots \mathbf{ x}_n \}\) on \( S\):n kanta / basis , if:
(M1) \( V\) virittää \( S\) (all vectors in S can be expressed as linear combination of V
(M2) \( V\) on lineaarisesti riippumaton.
Määr Vektoriavaruuden dimensio on \( dim(S) = \#(\text{ kanta vektori} )\)

• Matriisin aste ja lineaarinen riippumattomuus

Määr Matriisin aste/degree: \( r(\mathbf{ X} )= \#(\text{lineaarisesti riippumattomien sarakkeita} )\).
Lause (Olkoon \( \mathbf{ X}\ \ m\times m\) matriisi) \( |\mathbf{ X} | \neq 0 \text{ joss ⇔ } r(\mathbf{ X} )=m\) .
Lause Olkoon \( \mathbf{ A} \ \ m \times n;\ \ \mathbf{ B}\ \ n\times p \) matriiseja. Tällöin:
▻▻ \( r(\mathbf{ AB} ) \leq \min\{r(\mathbf{ A} ), r(\mathbf{ B} )\}\) ;
▻▻ \( r(\mathbf{ A} ) = r(\mathbf{ A’} ) = r(\mathbf{ AA’} ) = r(\mathbf{ A’A} )\).

Projektiomatriisit

Määr Olkoon \( \mathbf{ P} \) symmetrinen (\( \mathbf{ P’=P} \) ) ja idempotentti (\( \mathbf{ P=P^2} \) ) \( n\times n\) matriisi. Täälöin \( \mathbf{ P} \) on ortogonaalinen projektio / orthogonal projection tai projektiomatriisi.
Lause Olkoon \( V = \{\mathbf{ x}_1,\dots,\mathbf{ x}_p \}\ \ S\):n kanta.
Jos \( \mathbf{ X} \):n sarakkeina ovat kantavektorit, niin ⇒ \( \mathbf{ y}\in \mathbb{ R}^n \):n projektio \( S\):lle on \( \mathbf{ Py} \text{ , jossa } \mathbf{ P=X(X’X)^{-1}X’} \) .
Huom Jos \( \mathbf{ X} \):n sarakkeina ovat ortonormaalit vektorit, niin \( \mathbf{ X’X=I}_n \) ja siis \( \mathbf{ P=XX’} \).

Ominaisarvot/vektorit

Määritelmä

Määr Olkoon \( \mathbf{ A}\ \ m \times m \) neliömatriisi. Skalaari \( \lambda\) on \( \mathbf{ A} \):n ominaisarvo/eigenvalue , jos:
▻▻ \( \exists \text{ vektori }\mathbf{ x} \neq 0: \ \mathbf{ Ax} = \lambda \mathbf{ x} \).
▻▻ ▻▻ Täällä \( \mathbf{ x} \) on ominaisarvoon \( \lambda\) liittyviä ominaisvektoreita/eigenvector.
▻▻ ▻▻ Kirjoitetaan: \( (\mathbf{ A}-\lambda \mathbf{ I}_m )\mathbf{ x} = 0 \) , siis:
▻▻ karakteristinen yhtälö: \( |\mathbf{ A}-\lambda \mathbf{ I}_m |=0\) .
Esim R-Koodi:
 
A<-matrix(c(4,3,6,7),2,2)
eigen(A)
 

Ominaisarvojen ja ominaisvektorien perusominaisuuksia

Lause Olkoon \( \mathbf{ A} \) neliömatriisi. Tällöin:
(1) \( \mathbf{ A} \text{ ja } \mathbf{ A’} \):lla on samat ominaisarvot;
(2) \( \mathbf{ A} \) on singulaarinen, joss ⇔ vähintään yksi ominaisarvoista on nolla;
(3) Ylä- tai alakolmiomatriisin \( \mathbf{ A} \) diagonaalialkiot ovat samalla myös \( \mathbf{ A} \):n ominaisarvot;
(4) \( \mathbf{ BAB}^{-1} \):llä ja \( \mathbf{ A} \):lla on samat ominaisarvot, jos \( \mathbf{ B} \) ei ole singulaarinen.
Määr Neliömatriisin \( \mathbf{ A} \ k\):s potenssi on \( \mathbf{ A}^k = \prod \limits_{ i=1}^{ k} \mathbf{ A} \).
Lause Olkoon \( \lambda \ \ \mathbf{ A} \):n ominaisarvo, \( c \in \mathbb{ R} \). Tällöin:
(1) \( \lambda^k\) on \( \mathbf{ A}^k \):n ominaisarvo;
(2) \( c\lambda\) on \( c\mathbf{ A} \):n ominaisarvo.
Lause Olkoon \( \mathbf{ A} \ \ n\times n \) matriisi, jonka ominaiarvot ovat \( \lambda_1,\dots, \lambda_n\) . Tällöin:
(1) \( \sum \limits_{ i=1}^{ n} \lambda_i = tr(\mathbf{ A} )\) ;
(2) \( \prod \limits_{ i=1}^{ n} \lambda_i = |\mathbf{ A} |\) .
Lause Olkoon \( \mathbf{ A} \ \ m\times m \) idempotentti matriisi (eli. \( \mathbf{ A}^2=\mathbf{ A} \) ). Tällöin \( \mathbf{ A} \):n ominaisarvot = 0 tai 1.

Symmetriset matriisit

Lause Symmetrinen neliömatriisi ⇒
(1) kaikki omiaisarvot ja ominaisvektorit ovat reaalisia;
(2) ominaisvektoreista on mahdollista muodostaa ortonormaali joukko \( \{\boldsymbol{ x}_1,\dots,\boldsymbol{ x}_n \}\) ;
(3) Matriisin aste \( r(\mathbf{ A} )=p\), missä \( p\) on nollasta eroavaa ominaisarvoa (non-zero eigenvalues).
Lause Olkoon \( n\times n\) symmetrinen neliömatriisi \( \mathbf{ A} \), jonka ominaisarvot \( \lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n\):
▻▻ \( \forall \ n\times 1\) verkotrilla \( \boldsymbol{ x}\neq 0:\ \lambda_n \leq \frac{ \boldsymbol{ x’Ax} }{ \boldsymbol{ x’x}}\leq \lambda_1 \), ja
▻▻ \( \lambda_n = \min \limits_{ \boldsymbol{ x\neq 0} } \frac{ \boldsymbol{ x’Ax} }{ \boldsymbol{ x’x}},\ \ \lambda_1 = \max \limits_{ \boldsymbol{ x\neq 0} } \frac{ \boldsymbol{ x’Ax} }{ \boldsymbol{ x’x}}\).

Positiivisesti (semi-)definiitit matriisit

Määr Olkoon \( \boldsymbol{ x} \ m\times 1\) vektori ja \( \boldsymbol{ A} \) symmetrinen \( m\times m\) matriisi:
(a) \( \boldsymbol{ x’Ax} \gt 0,\ \ \forall \boldsymbol{ x} \neq 0 \) ⇒ niin \( \boldsymbol{ A} \) on positiivisesti definiitti ;
(b) \( \boldsymbol{ x’Ax} \geq 0,\ \ \forall \boldsymbol{ x} \in \mathbb{ R}^m \text{ ja } \exists \boldsymbol{ x}\neq 0: \boldsymbol{ x’Ax} =0 \) ⇒ niin \( \boldsymbol{ A} \) on positiivisesti semidefiniitti ;
(c) \( \boldsymbol{ x’Ax} \lt 0,\ \ \forall \boldsymbol{ x} \neq 0 \) ⇒ niin \( \boldsymbol{ A} \) on negatiivisesti definiitti ;
(d) \( \boldsymbol{ x’Ax} \leq 0,\ \ \forall \boldsymbol{ x} \in \mathbb{ R}^m \text{ ja } \exists \boldsymbol{ x}\neq 0: \boldsymbol{ x’Ax} =0 \) ⇒ niin \( \boldsymbol{ A} \) on negatiivisesti semidefiniitti .
Lause Positiivisesti ja negatiivisesti definiitti ⇒ ei-singlaarinen.
Lause Olkoon \( \boldsymbol{ A}\ m\times n \) matriis, jonka aste on \( r\):
▻▻ \( \boldsymbol{ A’A} \):lla on \( r\) positiivista ominaisarvoa;
▻▻ \( r=n\) ⇒ \( \boldsymbol{ A’A} \) on positiivisesti definiitti, jonka postiiviset ominaisarvot ovat samat kuin \( \boldsymbol{ AA’} \):n.
▻▻ \( r\lt n\) ⇒ \( \boldsymbol{ A’A} \) on positiivisesti semidefiniitti;

Matriisihajotelmat

Pääakseliesitys / Orthogonal Representation

Lause Olkoon \( \boldsymbol{ A} \) symmetrinen \( m\times m\) matriisi. \( \lambda_i,\boldsymbol{ u}_i \) ominaisarvoja ja ominaisvekotria.
▻▻ \( \boldsymbol{ A} \):lle saadaan pääakseliesitys: \( \boldsymbol{ A = U\Lambda U’ }\),
▻▻ ▻▻ \( \Lambda=diag(\lambda_1,\dots, \lambda_m)\) ja \( \boldsymbol{ U}=(\boldsymbol{ u}_1,\dots,\boldsymbol{ u}_m ) \).
Lause Olkoon \( \boldsymbol{ A} \) positiivisesti semidefiniitti matriisi:
▻▻ on olemassa alakolmioatriisi \( \boldsymbol{ T}:\ \boldsymbol{ A=TT’},\ \ \boldsymbol{ T} \):lla on ei-negatiiviset diagonaalialkiot.
▻▻ ▻▻ positiivisesti definiitti ⇒ positiiviset diagonaaliakiot.
▻▻ ▻▻ kutsutaan Choleskyn hajotelmaksi/decomposition

Singulaariarvohajotelma / Singular decomposition

Lause Olkoon \( \boldsymbol{ A}\ m\times n \) matriisi, jonka aste on \( r\gt 0\):
▻▻ on olemassa ortogonaalinen \( m\times m \ \boldsymbol{ P} \) ja ortogonaalinen \( n\times n\ \boldsymbol{ Q}: \ \boldsymbol{ A =PDQ’} \).
▻▻ ja sitten \( m\times n: \ \boldsymbol{ D=P’AQ} \text{ on } \begin{cases} \boldsymbol{ \Delta},& r=m=n\\ \begin{bmatrix} \boldsymbol{ \Delta} &\boldsymbol{ 0}_{m\times(n-m)} \end{bmatrix} , & r=m\lt n\\ \begin{bmatrix} \boldsymbol{ \Delta} \\ \boldsymbol{ 0}_{(m-n)\times n}\end{bmatrix} &r=n \lt m \\ \begin{bmatrix} \boldsymbol{ \Delta} & \boldsymbol{ 0}_{r\times (n-r)}\\ \boldsymbol{ 0}_{(m-r)\times r} & \boldsymbol{ 0}_{(m-r)\times(n-r)}\end{bmatrix} &r\lt m, r\lt n \end{cases}\).
▻▻ ▻▻ \( \boldsymbol{ \Delta}\ r\times r \) diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat positiivisia; ja \( \boldsymbol{ \Delta}^2 \) diagonaalialkiot ovat \( \boldsymbol{ A’A},\boldsymbol{ AA’} \) positiiviset ominaisarvot;
▻▻ ▻▻ \( \boldsymbol{ P} \):n sarakkeina ovat \( \boldsymbol{ AA’}\):n ominaisvektorit; \( \boldsymbol{ Q} \):n sarakkeina ovat \( \boldsymbol{ A’A}\)_n ominaisvektorit.

Ositetutmatriisit

Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisiderivaatat