Subjects in Mathematics

Topologia

Table of Contents Lähtö/Intro Sopimus: MA = Metrinen avaruus / metric space TA = Topologien avaruus / topology space The free e-book provided by Morris is very helpful: Topology without Tears Topologia on maten ala, joka tutkii avaruuksien ominaisuuksia, jotka säilyvät jatkuvissa deformaatioissa. (esim. venytys tai taivutus / streching and bending). Yleinen topologia: “avointen joukkojen […]

0 comments

Bayes-tilastotiede MCMC

Johdanto Bayes-päättely . Posteriorin laskeminen . Hierarkkiset mallit Hierakkinen malli esitetään usein graafin avulla. DAG – Directed Asyclic Graph: For graph 2, . Havainnot ovat vihdannaisia (finitely exchangeable) . Posteriorin laskeminen Numeerinen integrointi . Suurten otosten approksimaatio . Monte Carlo – menetelmä . Tärekeysotanta/importance sampling . SIR/Sampling Importance Resampling . Markovin ketju Monte Carlo on […]

0 comments

Matriisilaskentaa

Course Summary Matriisialgebran alkeita Notaatioita eli. riiviä saraketta matriisi: ; ▻▻ Pystyvektori, esim: ; ▻▻ Vakaavektori, esim: . Matriisien yhteenlasku ja kertolasku (Summa) matriiseja. Summa on . (Tulo) matriisi ja matriisi. Tulo on , jossa: ▻▻ . (Tulo) Skalaarin ja matriisin tulo on . Olkoot skalaareja ja matriiseja: (1) ; (2) ; (3) ; (4) […]

0 comments

Characteristic Function and Convergence

Complex Numbers Complex number space ▻▻ . Let : ▻▻ . . Euler’s formula . Complex Valued Random Variables A map is called measurable provided that is measurable. A map is called integrable provided that , where ▻▻ . Basics of Characteristic Functions Definitions is the set of all probability measure on . ▻▻ The […]

0 comments

Moniulotteiset Aikasarjat

Table of Contents Johdanto Stationaariset Prosessit Stationaariset prosessit / Stationary process Stokastinen prosessi on (vahvasti) stationaarinen / (strictly) stationary, jos: ▻▻ . Heikosti stationaarinen / (weakly) stationary: ▻▻ . (i.i.d.) Jos on tällainen jono ja ovat äärellisinä olemassa, merkitään . (Yksi- ja moniulotteisessa tapauksessa) ▻▻ Moni-ssa: ; ▻▻ . Olkoon ja : ▻▻ Autokovarianssifunktio: ; […]

0 comments

Mitta- ja Integraaliteoria

Table of Contents Lähtö/Intro MATS111 ja MATS112 Mitta- ja Integraaliteoria (syksy 2015) Kurssin kotisivu (Heli) Opettaja: Heli Tuominen Kurssin koostuu kahdesta osasta:5 ECTs + 4 ECTs | 7 + 6 Harjoitukset References and course material (PDFs) • Heli Tuominen: Mitta- ja Integraaliteoria Luennot 2015 (Suomeksi); • Tero Kilpeläinen: Luentomonistetta 2003-2004 (Suomeksi); • E. M. Stein […]

0 comments

Probability Theory & Measure

Unfinished subject | Table of Contents Intro Professor: Stefan Geiss Literature: An Introduction to Probability Theory (Geiss, 2016) University of Jyväskylä, Finland Spring 2016 This course is based on probability spaces a triple , where: ▻▻ sets of states or events, and ; ▻▻ is σ-algebra; ▻▻ is a probability measure. Probability Spaces σ-Algebra and […]

0 comments

Statistical Methodology

Basic course is based on Moore, McCabe & Craig: Introduction to the practice of statistics. Only abstracts are available here in English. Advanced phase in Finnish. Table of Contents Course Info Tilastomenetelmien jatkokurssi (TILP450) / kevät 2016, 9op Lehtorit: • Harri Högmander • Annaliisa Kankainen • Salme Kärkkäinen • Juho Kopra Matematiikan ja tilastotieteen laitos […]

0 comments

Teoreettinen Tilastotiede

Table of Contents Lähtö Lehtori: Juha Karvanen Karvanen, J. (2016) Teoreettinen tilastotiede 1: Kausaalisuus ja tilastolliset mallit. Pearl, J. (2009). Causality: Models, Reasoning, and Inference (Second ed.). Cambridge University Press. Further Topics on Causality: Judea Pearl, lectures, slides, seminars and excerpts | Seminar notes: REASONING WITH CAUSE AND EFFECT (Pearl, 1999) • Tilastotieteen kokonaiskuva / […]

0 comments

Stokastiikan Perusteet

Table of Contents (Report) Binomial Option Pricing – Matlab Based on Stochastic Simulation Yan PAN, December 2015 Harjoitukset / Exercise Sheet (Eija Laukkarinen) 1. Introduction This short paper explains my simple implementation of Binomial Option Pricing Model with regards to the course assignment. The application used in this assignment is Matlab R2015a under license from […]

0 comments

Financial Mathematics

Table of Contents Introduction to Stochastic Calculus: Definition and properties of Filtration and Brownian Motion Filtration Filtration is good simulation of “information” in real world (only increase as time goes by). ▻▻ ,  such that . Usual conditions Stochastic basis or , satisfies the Usual Condition: (1) is complete; (2) contains all -null sets of […]

0 comments

Monimuuttujamenetelmät

Moniulotteinen data Moniulotteinen havainnot . Covariance matrix . Moniulotteinen normaalijakauma . Normaalijakauma ▻▻ . ▻▻ (mikä tahansa lineaarikombinaatio on yksiulotteinen normaalijakauma). Pääkomponenttianalyysi Perusidea . Lagrangen menetelmä (1. pääkomponentin) . Toinen pääkomponentin ja muita . Yleistä ▻▻ Käytetään niitä pääkomponentteja, joille ; ▻▻ 1.PK on usein summamuuttuja Riippumattomien komponenttien analysis | Independent Component ICA model . […]

0 comments

Bayes-tilastotiede I

Course Summary Johdanto Salme Kärkäinen Jyväskylän Yliopisto Syksy, 2016 Penttinen, 2009, Bayes-tilastotiede problem & Bayesian ratkaisu ▻▻ Jos , niin mikä on ? ▻▻ Bayesian ratkaisu: . Joitakin avainsanoja Subjektiiviset todennäköisyydet (subjective probability) priorities (prior distribution) posterioritieto (posterior distribution) prdiktiivinen jakauma (predictive distribution) hierakkiset mallit (hierarchical models) Markovin ketju Monte Carlo (Markov Chain and Monte […]

0 comments

Sekamallit ja pitkittäisainestojen analyysi

Mixed model and longitudinal analysis; Sekamallit ja pitkittäisainestojen analyysi;

0 comments

Yleistetyt Lineaarinen Malli

Lineaarinen regressio Regressioanalyssin avulla ei voida tehdä päatelmiä muuttujien välisestä syy-seuraus -yhteydestä. Model definition . . Matriisimuodo . . Olettamukset ja diagnostiikka (residual plot) . Muunnokset | Transformations Muunnokset . Testata . Testata . Interactive items should be added once its influence is supposed to be strong (eg. gender), and use F-test to verify. Logistinen […]

0 comments

Tilastollinen Päättely

Satunnaisvaihtelu en. variations Populaatiovaihtelu ja havaintovirhe Jatkuva populaatio ▻▻ Kertymäfunktio / distribution : . ▻▻ Välttöfunktio / survival : . ▻▻ Vaarafunktio / harzard : . Vaarafunktio: ▻▻ todennäkköisyys. ▻▻ . Weibull-jakauma on parametrinen malli ▻▻ . Havaintovirhe . ▻▻ usein tehdään oletus ; ▻▻ Jos , niin . Laplace’n virhe ▻▻ . Tilastollinen malli […]

0 comments

Algebra: Renkaat, Kunnat ja Ryhmät

Kokonaislukujen aritmetiikkaa en. Integer arithmetic Jokoyhtälö ja jaollisuus en. Euclidean division and divisibility Kun kokonaisuluku jaetaan positiivisella kokonaisluvulla , saadaan osamäärä / quotient ja jakojäänös / remainder . . Jakoyhtälö / Euclidean division Olkoot kokonaislukuja: ▻▻ . ▻▻ ovat yksikäsitteiset/unique. Olk , Luku jakaa luvun : ▻▻ Jos jollain , merkitään Jos ei, . . […]

0 comments

Kompleksianalyysi

Kertaus . Sarja . Suppenemissäde . Ponenttisarja . Suppenemissäde . Ponenttisarja . Cauchy-Riemann yhtälö ., missä . . exp, sin, cos . Logaritmin päähaara: . Tieintegraali . ovat kvivalentteja: . Primitiivi . . . . Cauchyn integraalikaava . Cauchyn estimaatti . Kompleksiluvut, algebralliset ja topologiset perusominaisuudet Kompleksiluvut Kompleksilukujen joukko on taso . ▻▻ . Jokaisella […]

0 comments

Lukuteoria

Lukujärjestelmät Kymmenjärjestelmä kymmenjärjestelmä / decimal system esim. . Muitajärjestelmiä Kahdeksanjärjestelmä ▻▻ Kahdeksanjärjestelmä . ▻▻ . Jakoyhtälö / Euclidean division . Yksikäsitteisyyslause Olkoot . Tällöin on yksikäsitteiset kokonaisuluvut , joille: (1) .; (2) ; (3) . Alukulukuteoria Jaollisuus Lukun n on jaollinen/divisible luvulla m, jos . ▻▻ merkitään . Olkoot . Tällöin, (1) refleksiivisyys ; (2) […]

0 comments

Time Series Analysis

Exploratory and Spectral Analysis . Stationarity . Stationary ⇒ . Cycles: sinusoidal mean model (become linear). Trends : difference series . Discrete Fourier transform, DFT . Periodogram of vector . Box-Jenkins Models Linear process ; causal if . Moving average . Autoregressive . . . . . Parameter estimation Mean and trend: set . Be […]

0 comments

Parametrittomat ja robustit menetlemät

Kahden käsittelyn vertailu: kaltaistetut parit Compare two variables: matching couples. On usein realistista oletta, että on satunnaisotos jatkuvasta symmetrisestä jakaumasta. ▻▻ esim. . Parametrinen malli: normaalijakaumaoletus Oletetaan ., missä delta on käsittelyjen vaikutusten keskimääräinen ero. . Parametriton malli A Oletetaan mediaani on . . Parametriton malli B Olkoon satunnaisotos jatkuvasta symmetrisestä jakaumasta, jonka mediaani (tuntematon) […]

0 comments