# Kertaus

$$\begin{cases} (z_n) \text{ suppenee } \ ⇔ \ (z_n) \text{Cauchy jono} \ ⇔ \ \text{Re} (z_n), \text{Im} (z_n) \text{suppenevat} \\ \text{Cauchy jono:} \forall \varepsilon\gt 0,\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \ |z_n-z_m|\leq \varepsilon,\ \forall m,n\geq n_\varepsilon \\ \mathbb{C} \text{ on täydellinen, eli cauchy jonot suppenevat} \end{cases}$$.
Sarja $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i \ \begin{cases} \text{suppenee} & \lim\limits_{ n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{ n} a_i = z \in \mathbb{C} \\ \text{suppenee itseisesti} & \lim\limits_{ n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{ n} |a_i| = z \in \mathbb{C} \\ \text{suppenee itseisesti} &\text{ ⇒ suppenee ⇒ } \lim\limits_{ n \to \infty} a_n =0 \end{cases}$$.
Suppenemissäde $$R \ \begin{cases} = \frac{1}{\lim\sup |a_n| ^ \frac{1}{n} } = \lim\limits_{ n \to \infty} \bigg| \frac{a_n}{a _{n+1} } \bigg| \\ |z-a|\lt R \ ⇒\ f(z) \text{ suppenee} \\ 0 \leq r\lt R \ ⇒\ f(z)\text{ suppenee tasaisesti kiekossa } \bar B (a,r) \end{cases}$$.
Ponenttisarja $$\begin{cases} f(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n \\ f'(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+1)a _{n+1} (z-a)^n \\ f ^{(k)} (z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1) a _{n+k} (z-a)^n \end{cases}$$.
Suppenemissäde $$R \ \begin{cases} = \frac{1}{\lim\sup |a_n| ^ \frac{1}{n} } = \lim\limits_{ n \to \infty} \bigg| \frac{a_n}{a _{n+1} } \bigg| \\ |z-a|\lt R \ ⇒\ f(z) \text{ suppenee} \\ 0 \leq r\lt R \ ⇒\ f(z)\text{ suppenee tasaisesti kiekossa } \bar B (a,r) \end{cases}$$.
Ponenttisarja $$\begin{cases} f(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n \\ f'(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+1)a _{n+1} (z-a)^n \\ f ^{(k)} (z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1) a _{n+k} (z-a)^n \end{cases}$$.
Cauchy-Riemann yhtälö $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$., missä $$\begin{cases} f= u+iv\\ f’= u_x + i v_x \\ f’ = v_y – i u_y \end{cases}$$.
$$\exp(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{n!} \ \begin{cases} \exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)\\ (\exp(z)) ^{-1} = \exp(-z) \\ \exp(\bar z) = \overline{\exp(z)} \\ |\exp(z)|= \exp( \text{Re} (z)) \end{cases}$$.
exp, sin, cos $$\begin{cases} e^{z+k\cdot 2\pi i} = e^z \text{ (peoridionen)} \\ \sin (z) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n+1} }{(2n+1)!} = \frac{1}{2i} (e ^{iz} -e ^{-iz} )\\ \cos(z) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n} }{(2n)!} = \frac{1}{2} (e ^{iz} +e ^{-iz} ) \\ e ^{iz} = \cos z + i \sin z\\ z=|z| e ^{i\varphi} \end{cases}$$.
Logaritmin päähaara: $$\begin{cases} f(z)=\log |z|+i\varphi_z \\ f'(z)= \frac{1}{z} \end{cases}$$.
Tieintegraali $$\displaystyle\int_{ \gamma } f(z)dz = \displaystyle\int_{ a } ^b f \big( \gamma (t) \big) \cdot \gamma'(t) dt$$.
$$\gamma_1,\ \gamma_2$$ ovat kvivalentteja: $$\exists \text{kasvava bijektio} \gamma_1 = \gamma_2 \circ \rho,\ \ \rho,\rho ^{-1} \text{ jatkuvasti derivoituvia}$$.
Primitiivi $$\begin{cases} \text{määritelmä} & F'(z)=f(z) \\ \text{tieintegraali} & \displaystyle\int_{ \gamma } f dz = F(\gamma(b)) – F(\gamma(a)) \\ \gamma \text{ suljettu tie} &\displaystyle\int_{ \gamma f } dz =0 \end{cases}$$.
$$\bigg| \displaystyle\int_{ \gamma } fdz \bigg|\leq \displaystyle\int_{ a } ^b |f(\gamma(t))| \cdot|\gamma’ (t)|dt \leq \max \{ |f(\gamma(t))|\} \displaystyle\int_{ a } ^b |\gamma'(t)|dt$$.
$$g(t)= \displaystyle\int_{ a } ^b \varphi (s,t)ds \ ⇒\ \frac{d}{dt} g(t)= \displaystyle\int_{ a } ^b \frac{\partial}{\partial t} \varphi (s,t)ds$$.
$$\displaystyle\int_{ 0 }^ {2\pi} \frac{e^{is}}{e^{is}-z} ds = 2\pi,\ \ \forall z \in B(0,1)$$.
Cauchyn integraalikaava $$\begin{cases} \gamma(t)=a+re ^{it}, \ \ \forall t\in [0,2\pi],\\ \ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \displaystyle\int_{ \gamma } \frac{f(w)}{w-z} dw,\ \ \forall z \in B(a,r) \end{cases}$$.
Cauchyn estimaatti $$\begin{cases} |f(z)|\leq M,\ \ \forall z\in B(a,r) \\ |f ^{(n)} (a)| \leq \frac{n!M}{R^n} \end{cases}$$.

# Kompleksiluvut, algebralliset ja topologiset perusominaisuudet

## Kompleksiluvut

Määr Kompleksilukujen joukko on taso $$\mathbb{C} :=\mathbb{R} ^2 = \mathbb{R \times R}$$.
▻▻ $$\begin{cases} \text{yhteenlasku: } &+: \mathbb{C\times C \to C}, & z_1+z_2 = (x_1+x_2,y_1+y_2)\in \mathbb{C} \\ \text{kertolasku: } & \cdot: \mathbb{C\times C \to C}, & z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2 – y_1 y_2, x_1 x_2+ y_1y_2)\in \mathbb{C} \\ \text{itseisarvo/abs} & \text{ euklidinen normi} & |z| = \sqrt{x^2 + y^2}\end{cases}$$.
Huom Jokaisella $$z=(x,y)\in \mathbb{R} ^2 = \mathbb{C}$$ on napakoordinaattiesitys $$z=r(\cos\varphi,\sin\varphi)$$.
▻▻ $$\begin{cases} r=|z| \\ \varphi = Arg(z)\end{cases}$$, eli $$z=|z| ( \cos Arg(z), \sin Arg(z))$$.
▻▻ Sanotaan $$0\leq \varphi \lt 2\pi$$ on argumentti .
Lause $$\ z_1\cdot z_2 = |z_1| |z_2|( \cos(\varphi_1+\varphi_2), \sin(\varphi_1+\varphi_2))$$.
▻▻ myös, $$Arg(z_1 \cdot z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2) + 2k\pi$$.
Lause Käanteisalkio $$z^{-1}= |z| ^{-1} (\cos\varphi,-\sin \varphi) = \big( \frac{x}{x^2+y^2} , \frac{-y}{x^2+y^2} \big)$$ (se on kertolaskun suhteen).
▻▻ sitten, $$\begin{cases} z^n = |z|^n (\cos (n\varphi), \sin (n\varphi))\\ z ^{-n} = |z|^{-n} (\cos (-n\varphi), \sin (-n\varphi))\end{cases}$$.
Huom Reaaliluvuille: $$a=j(a) =(a,0), \ \forall a \in \mathbb{R}$$ ja imaginaariyksikkö $$i=(0,1) \in \mathbb{C}$$.
▻▻ Nyt, $$\begin{cases} z= Re(z) + i Im(z) \in \mathbb{C} \\ z =(Re(z), Im(z)) \in \mathbb{R} ^2 \end{cases}$$.
Määr Kompleksikonjugaatti / liittoluku on $$\bar z = x-iy \in \mathbb{C}$$ .
Lause $$z\in \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \ ⇔\ \bar z = z$$.
Lause $$\forall\ z,w\in \mathbb{C}$$ ($$z\neq 0$$ jos tarvitset), pätee:
▻▻ $$\begin{cases} \overline{z+w} = \bar z + \bar w \\ \overline{ zw} = \bar z \cdot \bar w \\ \bar{\bar z}= z \\ Re(z)= \frac{z+\bar z}{2} \\ Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i} \\ |\bar z| = |z| \\ z \bar z = |z|^2 \\ |zw| = |z| |w| \\ z ^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2} \\ |z ^{-1} | = |z |^{-1} \end{cases}$$.
Määr Metriikka $$d(z,w) := |z-w|$$.
▻▻ erityisen tärkeäa, kolmioepäyhtälö $$|z+w| \leq|z|+|w|$$.
Lause Kompleksilukujonno $$(z_n)$$ suppenee kohti pistettä $$z \ ⇔\ \begin{cases} \lim Re(z_n) = Re(z)\\ \lim Im(z_n) = Im(z) \end{cases}$$.

## Kompleksikuvaukset

Olkoot $$A, B \subset \mathbb{C}$$.
Lause $$f:A\to \mathbb{C}$$ jatkuva pisteessä $$z \ ⇔\ \begin{cases} Re(f):A \to \mathbb{R} \\ Im(f): A \to \mathbb{R} \end{cases}$$ (komponenttikuvaukset). ovat jatkuvia $$z$$:ssä.
Lause $$\begin{Bmatrix} f:A\to B \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ g: B\to \mathbb{C} \text{ jatkuva } f(z) \text{:ssä} \end{Bmatrix} ⇒ \ g \circ f : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä}$$.
Lause $$\begin{Bmatrix} f:A\to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ g: A\to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \end{Bmatrix} ⇒ \ \begin{cases} f+g : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ f\cdot g : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ f/g : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \end{cases}$$.
Lause $$(f_i)$$ jono jatkuvia kuvauksia, for all n, niin äärellinen summafunktio $$\sum\limits_{i=0}^{ n} f_i$$ on jatkuva.
Määr $$A\subset \mathbb{C}$$ on epäyhtenäinen/disconnected, jos on olemassa avoiment, pistevieraat (disjoint) joukot $$X,Y \subset \mathbb{C} : \begin{cases} X\cap A \neq \emptyset\\ Y \cap A \neq \emptyset \end{cases}$$ , mutta $$A \subset X\cup Y$$.
▻▻ $$A$$ on yhtenäinen/connected, jos se ei ole epäyhtenäinen.
Lemma Olk $$\{A_j\} _{j\in I}$$ perhe yhtenäisiä osajoukkoja ja $$\bigcap \limits_{ j\in I}$$.
▻▻ Tällöin, $$\bigcup \limits_{j\in I} A_j \subset \mathbb{C}$$ on yhtenäinen.
Määr $$A\subset G\subset \mathbb{C} ,\ A$$ on $$G$$:n yhtenäisyyskomponentti, jos se on maksimaalinen yhtenäinen osajoukko.
▻▻ ts. $$\begin{cases} A \text{ yhtenäinen} \\ \text{jos } B \text{ on yhtenainen, ja } A\subset B \text{, niin } A=B \end{cases}$$.
Lemma $$G\subset \mathbb{C}$$ on yhtenäinen ⇔ G:llä on täsmälleen yksi (exactly one) yhtenisyyskomponentti.
Lemma Olk $$z\in G \subset \mathbb{C}.\ \ \ \exists \ G$$:n yhtenäisyyskomponentti $$C:\ z\in C$$.
Lause Pokuyhtenäinen (pathwise connected) ⇒ yhtenäinen.
Määr $$a,b\in \mathbb{C}$$ yhdistävä yhdistävä jana/segment on kuvuas $$J(a,b):[0,1]\to \mathbb{C}$$:
▻▻ $$J(a,b)(t)= a + t(b-a)$$.
Määr Jos $$a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb{C}, \ \ \ a_0 \text{ ja } a_n$$ yhdistävä murtoviiva/polyline (polygonal chain) on joukko :
▻▻ $$[a_0,a_1,\dots,a_n]= \bigcup \limits_{i=1}^{n} J(a _{i-1} ,a_i) ([0,1])$$.
Määr Joukko A on murtoviivayhtenäinen, jos $$\forall a,b\in A,\ \exists [a,a_1,\dots,a _{n-1} ,b]\subset A$$.
Lause Murtoviivayhtenäinen ⇒ Polkuyhtenäinen.
Lemma $$G$$ avoin ⇒ sen yhtenäisyyskomponentti on avoin.
Lause avoin ja yhtenäinen ⇒ on myös murtoviivayhtenäinen.

# Review of Real-Valued Series

Määr convergent sequence i.e. $$\lim\limits_{ n \to \infty} a_n =L$$ ▻▻ $$\forall \epsilon\gt 0,\exists N\gt 0:\ |a_n-L|\lt \epsilon \text{, whenever } n\gt N$$.
Esim $$\lim\limits_{ n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0& -1\lt r\lt1 \\ 1 & r=1 \end{cases}$$.
Lause Bounded and monotonic sequence converges.
Lause $$\sum a_n$$ converges ⇒ $$\lim\limits_{ n \to \infty} a_n =0$$.
Lause (integral test) Let $$a_n=f(n).\ \sum\limits_{n=1}^{ \infty} a_n$$ converges ⇔ $$\displaystyle\int_{ 1 } ^\infty f(x)dx$$ converges.
Lause (comparison test) Suppose $$a_n \leq b_n,\ \ n\geq N$$ for some N.
▻▻ $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n$$ converges ⇒ so does $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n$$ .
Lause (absolute convergence) $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} |a_n|$$ convergences ⇒ so does $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n$$.
Lause (ratio test) $$\lim\limits_{ n \to \infty} \big| \frac{a _{n+1} }{a_n} \big| = L \begin{cases} \lt 1 & \text{ ⇒ converges absolutely} \\ \gt 1 & \text{ ⇒ diverges} \\=1 & \text{ no info} \end{cases}$$.
Lause (root test) $$\lim\limits_{ n \to \infty} |a_n| ^{1/n}$$ same as above.
Määr power series $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n x^n$$.
▻▻ ratio: $$\lim\limits_{ n \to \infty} \frac{|a _{n+1} |}{|a_n|} |x|= |x| \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{|a _{n+1} |}{|a_n|}$$ is easy to investigate.

# Jonot ja sarjat

Lause $$(z_n)$$ suppenee ⇔ $$(Re(z_n)), (Im(z_n))$$ suppenevat (realiset jonot). .
▻▻ $$\lim z_n = a \ ⇔ \ \begin{cases} \lim Re(z) = Re(a)\\ \lim Im(z) = Im(a) \end{cases}$$.
Lause $$\begin{Bmatrix} \lim z_n = a \\ \lim w_n = b \end{Bmatrix} ⇒ \lim (z_n+w_n) = a+b,\ \lim (z_n w_n) = ab$$.
Lause Olk $$G\subset \mathbb{C} ,\ z\in G,\ f,g: G \to \mathbb{C}$$, joilla on raja-arvo $$z:$$ssä.
▻▻ $$\lim\limits_{w\to z} (f(z)+g(z)) = \lim\limits_{w\to z} f(z) + \lim\limits_{w \to z} g(z)$$;
▻▻ $$\lim\limits_{w\to z} (f(z)\cdot g(z)) = \lim\limits_{w\to z} f(z) \cdot \lim\limits_{w \to z} g(z)$$.
Määr Cauchy-jono $$\forall \varepsilon\gt 0, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} :\ |z_n-z_m|\lt \varepsilon,\ \ \forall m,n\geq n_\varepsilon$$.
Lause $$(z_n)$$ Cauchy jono ⇔ $$(Re(z_n)), (Im(z_n))$$ ovat Cauchy-jonoja.
Lause Suppeneva kompleksilukujono on Cauchy-jono.
Lause $$\mathbb{C}$$ on täydellinen ( jokainen Cauchy-jono suppenee ).
Määr Sarja $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i$$ suppene, jos on olemassa $$z = \lim\limits_{ n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{ n} a_i$$.
Määr Sarja $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i$$ suppenee itseisesti / converges absolutely , jos $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} |a_i|$$ suppenee.
Lause Itseinen suppeneminen ⇒ suppeneminen (the reverse is not true)
Määr (kuvauksia) $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i$$ suppenee pisteittäin joukossa $$A$$, jos $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i(z)$$ suppenee $$\forall z\in A$$.
▻▻ Pisteittäin suppenevan sarjan summafunktio $$g(z):= \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i(z),\ \ \forall z \in A$$.
Määr $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i$$ suppenee tasaisesti/uniformly kohti funktioita $$g:A\to \mathbb{C}$$, jos:
▻▻ $$\forall \varepsilon\gt 0 , \exists N\in \mathbb{N} :\ \bigg| \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i(z)-g(z) \bigg| \lt \varepsilon,\ \forall z\in A$$.
▻▻ ▻▻ Tasaiminen suppeneminen ⇒ pisteinen suppeneminen (käänteiminen implikaatio ei päde)
Lause Olkoon $$(f_n) _{n\in \mathbb{N} }$$ jono jatkuvia kuvauksia, siten että sarja $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i$$ suppenee tasaisesti kohti $$g$$:tä. Tällöin $$g$$ myös on jatkuva.
Lause Weierstrassin M-testi $$\begin{Bmatrix} |f_n(z)|\leq M_n,\ \forall z \\ \sum\limits_{i=0}^{ \infty} M_i \in \mathbb{R} \text{ suppenee} \end{Bmatrix} ⇒ \ \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i$$ suppenee itseisesti ja tasaisesti.
Määr Olkoot $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i,\ \sum\limits_{i=0}^{ \infty} b_i$$ kompleksilukusarjoja. Cauchyn tulo on sarja $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} c_i:\ \ c_n = \sum\limits_{k=0}^{ n} a_k b _{n-k}$$.
Lause Metrensin lause Jos $$A= \sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i,\ B= \sum\limits_{i=0}^{ \infty} b_i$$ (ne ovat supppenevia). Lisäksi, toinen suppenee itseiseti.
▻▻ Tällöin, Cauchyn tulo suppenee ja $$\sum\limits_{i=0}^{ \infty} c_i = AB$$.

# Potenssisarjat

Määr Potenssisarja on sarja $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} f_n(z),\ \ \ f_n(z)=a_n (z-a)^n$$.
Huom $$w^0=1,\ \forall w\in \mathbb{C}$$.
Esim $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} z^n$$ suppenee itseisesti kun $$|z|\lt 1$$.
Määr Reaaliluvuille $$\limsup a_n = \begin{cases} \lim\limits_{ n \to \infty} \sup \{a_i|i\geq n\} &a_n\text{ rajoitettu}\\ \infty & \text{muuten} \end{cases}$$.
Lause Kompleksinen potenssisarjan suppeminen.
Olkoon $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n,\ \ R = \frac{1}{\limsup |a_n| ^{\frac{1}{n} }} \in [0,\infty]$$. Tällöin
▻▻ $$\begin{cases} |z-a|\lt R & ⇒ \text{sarja suppenee itseisesti} \\|z-a|\gt R & ⇒ \text{sarja hajaantuu} \\ 0\leq r\lt R & ⇒ \text{suppenee tasaisesti kiekossa } \bar B(a,r) \end{cases}$$.
Määr $$R$$ on suppenemissäde / convergence radius .
Lause Suppenemissäde $$R=\lim\limits_{ n \to \infty} \bigg| \frac{a_n}{a _{n+1} } \bigg|$$, jos se on olemassa.
Määr Kompleksinen eksponenttifunktio $$exp: \mathbb{C \to C} :\ \ \ e^z = exp(z) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{x^n}{n!}$$.
Lause Oletetaan, että $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n,\ \sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n (z-a)^n$$ suppenevat pisteittäin $$B(a,r)$$:ssa.:
▻▻ $$\begin{cases} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (a_n+b_n) (z-a)^n = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n + \sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n (z-a)^n \\ \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \bigg( \sum\limits_{k=0}^{ n} a_k b _{n-k} \bigg) (z-a)^n = \bigg( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n \bigg) \bigg( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n (z-a)^n \bigg) \end{cases}$$ .

# Analyyttiset funktiot

Määr funktio on derivoituva pisteessä, jos $$\exists\ \lim\limits_{h\to0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \in \mathbb{C}$$.
▻▻ merkitään symbolilla $$f'(z)= \frac{d}{dz} f(z)$$.
Lause $$f:G\to \mathbb{C}$$ derivoituva pisteessä $$z\ ⇒ \ f$$ on jatkuva pisteessä.
Lause Jos $$f,g:G\to \mathbb{C}$$ ovat derivoituvia pisteessä $$z \ ⇒ \ f+g,\ f\cdot g$$ ovat myös derivoituvia z:ssä, ja
(1) $$(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$$;
(2) $$(f\cdot g)'(z) = f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$$;
(3) $$\bigg( \frac{f}{g} \bigg)'(z) = \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^2}$$.
Lause Ketjusääntö $$(g\circ f)'(z)=g'(f(z))\cdot f'(z)$$.
Lause Suppenemiskiekossaan potenssisarja voidaan derivoida termeittäin, eli,
$$f:B(a,R) \to \mathbb{C},\ f(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n$$ on analyyttinen ja pätee:
▻▻ $$f'(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+1)a _{a+1} (z-a)^n,\ \ \forall z\in G$$ .
▻▻ ▻▻ R on suppenemissäde. Jos $$R=\infty$$ käytä $$\mathbb{C}$$ kiekkona.
Lause Kuvaus $$f(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n$$ on myös äärettömän monta kertaa drivoituva ja pätee
▻▻ $$f ^{(k)} (z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+k)(n+k-1)\cdots (n+1 ) a _{n+k} (z-a)^n$$.
Lause Kuvaus $$f:G\to \mathbb{C} / \mathbb{R} ^2, \ \begin{cases} f(z)=u(z)+iv(z) \\ f(x,y) = u(x,y)+v(x,y) \end{cases}$$ on analyyttinen ⇔ $$u_x,u_y,v_x,v_y$$ ovat jatkuvia G:ssä ja totettavat Cauchy-Riemann-yhtälöt.
▻▻ Cauchy-Riemann-yhtälöt $$\begin{cases} u_x = v_y \\ v_x =-u_y \end{cases}$$;
▻▻ pätee $$f'(z)=u_x(x,y)+iv_x(x,y) = v_y(x,y)-iu_y(x,y)$$.

Cauchy-Rieman equations are derived from the definition of limit existence: from both vertical and horizontal, the (real-valued) limits coincide. $$u_x= \frac{\partial u}{\partial x},\dots$$ (analytical function = derivable function)

Määr Olkoon $$I \subset \mathbb{R}$$ suljettu ja rajoitettu, $$\gamma:I\to \mathbb{C}$$ polku (i.e. continuous map). Sanotaan, että se on tie, jos $$I\to \mathbb{R} ,\ t \mapsto \text{Re} (\gamma(t)),\ t\mapsto \text{Im} (\gamma(t))$$ ovat paloittain/path-wise jatkuvasti drivoituvia tavallisessa reaalisessa mielessä.
▻▻ Tien $$\gamma$$ drivaatta pisteessä $$\gamma'(t)= \frac{d}{dt} \text{Re} (\gamma(t)) + i \frac{d}{dt} \text{Im} (\gamma(t))$$.
Esim $$\gamma:[0,2\pi]\to \mathbb{C} ,\ \gamma (t)= \cos t + i \sin t\ ⇒\ \gamma'(t)=-\sin t + i\cos t$$ (on tie).
Lause Olkoot $$f:G\to \mathbb{C}$$ analyyttinen kuvaus ja $$\gamma:I\to G$$ tie. Tällöin,
▻▻ $$(f\circ \gamma)'(t)=f'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)$$.
Lause $$f'(z)=0,\ \forall z\in G\ ⇒ \ f$$ on vakio.
▻▻ huomautus: $$G\subset \mathbb{C}$$ avoin ja yhtenäinen.
Lause Olkoon $$[a_0,\dots,a_n]\subset \mathbb{C}$$ Tällöin:
▻▻ $$\exists [a,b]\subset \mathbb{R} \text{ja tie } : \gamma:[a,b] \to \mathbb{C} \begin{cases} \gamma([a,b])= [a_0,\dots,a_n] \\ \gamma(a)=a_0\\ \gamma(b)=a_n \end{cases}$$.

# Eksponenttifunktio, logaritmi, sini ja ksini

Lause $$\exp(z)=e^z= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \ \ \ \ \forall z,w\in \mathbb{C}$$ pätee:
(1) $$\exp(z+w)=\exp(z)\cdot\exp(w)$$;
(2) $$\frac{1}{\exp(z)} = \exp(-z)$$;
(3) $$\exp(\bar z) = \overline{ \exp(z)}$$;
(4) $$|\exp(z)|= \exp (Re(z))$$.
Lemma Potenssisarjat $$\sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n+1} }{(2n+1)!} \text{ ja } \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n} }{(2n)!}$$ suppenevat koko kompleksitasossa.
Määr Define the above as $$\sin(z),\ \cos(z)$$ correspondingly.
Lause Sini ja cosini ovat koko tasossa analyyttisiä, joille pätee:
▻▻ $$\frac{d}{dz} \sin(z)=\cos(z),\ \ \frac{d}{dz} \cos(z)=-\sin(z),\ \ \forall z\in \mathbb{C}$$.
Lause $$\begin{cases} \cos (z)= \frac{1}{2} (e ^{iz} + e ^{-iz} ) \\ \sin(z) = \frac{1}{2i} ( e ^{iz} – e ^{-iz} )\end{cases}$$.
Lause $$\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$$.
Lause $$e ^{iz} =\cos (z) + i \sin(z)$$.
Lause $$z=|z|e ^{i\varphi},\ \ \varphi$$ on z:n napakulma.
▻▻ $$z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi) = |z| e ^{i\varphi}$$.
▻▻ $$e ^{i\pi} =1$$.
Lause $$e^z = e ^{Re(z)} (\cos Im(z) + i\sin Im(z))=e^x(\cos y + i \sin y)$$.
Lause $$e^z \neq 0,\ \ \forall z\in \mathbb{C}$$.
Määr Funtio on periodinen periodina $$c\in \mathbb{C} \setminus\{0\}$$, jos $$f(z+c)=f(z), \ \forall z$$.
Lause Exponenttifunktio on periodinen, periodina $$2\pi i$$.
Lause Olkoon $$z,c\in \mathbb{C}.\ \ e ^{z+c} =e^z \ ⇒ \ c=k\cdot 2\pi i$$.
Huom Kompleksiluvun logaritmi on joukko. Logaritmi ei ole kuvaus.
▻▻ $$\log(z)= \{\log|z|+i\varphi + k\cdot 2\pi i \ |\ k\in \mathbb{Z} \}$$.
Määr Olkoon $$G\subset \mathbb{C} \setminus \{0\}$$ avoin ja yhtenäinen. $$f:G\to \mathbb{C}$$ jatkkuva:
▻▻ logaritmin haara G:ssa on $$e ^{f(z)} =z$$.
Lause $$g:G\to \mathbb{C}$$ on logaritmin haara ⇔ $$\exists k\in \mathbb{Z} :\ g(z)=f(z)+k\cdot 2\pi i,\ \ \forall z\in G$$.
Määr Logaritmin päähaara $$f(z)=\log |z| +i \varphi_z$$.
▻▻ koska, $$e ^{f(z)} = e ^{\log |z|} e ^{i\varphi_z} = |z|e ^{i\varphi_z}=z$$.
Lause Olkoot $$G_1,G_2\subset \mathbb{C} ,\ f:G_1\to G_2,\ g:G_2 \to \mathbb{C}, \ \ f$$ jatkuva ja $$g(f(z))=z$$. Jos g derivoituva piestessä $$f(z)$$, niin
▻▻ f on derivoituva z:ssä ja $$f'(z)= \frac{1}{g'(f(z))}$$.
▻▻ g on analyyttinen G1 :ssa ⇒ f on G2 :ssa.
Lause f logaritmin haara avoimessa joukossa. Tällöin, $$f'(z)= \frac{1}{z} \ \ \forall z$$.
Määr Yleinen potenssi $$z^b = \exp(b\log z)$$.

# Tieintegraalit

Kertaus:
Käyräintegraali (Curve integral) $$\displaystyle\int_{ \gamma } fds:= \displaystyle\int_{ a } ^b f(\gamma(t))||\gamma’ (t)||dt$$;
Vektoriarvoiselle $$\displaystyle\int_{ \gamma } fds:= \displaystyle\int_{ a } ^b f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt$$;
Riemann kompleksiarvoille $$\displaystyle\int_{ a } ^b f(t)dt := \displaystyle\int_{ a } ^b \text{Re} f(t)dt + i \displaystyle\int_{ a } ^b \text{Im} f(t)dt$$.
Määr Kompleksinen f:n integraali yli tien $\gamma$:
▻▻ $$\displaystyle\int_{ \gamma } f(z)dz:= \displaystyle\int_{ a}^b f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt$$.