Kompleksianalyysi

Kertaus

\( \begin{cases} (z_n) \text{ suppenee } \ ⇔ \ (z_n) \text{Cauchy jono} \ ⇔ \ \text{Re} (z_n), \text{Im} (z_n) \text{suppenevat} \\ \text{Cauchy jono:} \forall \varepsilon\gt 0,\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \ |z_n-z_m|\leq \varepsilon,\ \forall m,n\geq n_\varepsilon \\ \mathbb{C} \text{ on täydellinen, eli cauchy jonot suppenevat} \end{cases} \).
Sarja \( \sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i \ \begin{cases} \text{suppenee} & \lim\limits_{ n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{ n} a_i = z \in \mathbb{C} \\ \text{suppenee itseisesti} & \lim\limits_{ n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{ n} |a_i| = z \in \mathbb{C} \\ \text{suppenee itseisesti} &\text{ ⇒ suppenee ⇒ } \lim\limits_{ n \to \infty} a_n =0 \end{cases} \).
Suppenemissäde \( R \ \begin{cases} = \frac{1}{\lim\sup |a_n| ^ \frac{1}{n} } = \lim\limits_{ n \to \infty} \bigg| \frac{a_n}{a _{n+1} } \bigg| \\ |z-a|\lt R \ ⇒\ f(z) \text{ suppenee} \\ 0 \leq r\lt R \ ⇒\ f(z)\text{ suppenee tasaisesti kiekossa } \bar B (a,r) \end{cases} \).
Ponenttisarja \( \begin{cases} f(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n \\ f'(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+1)a _{n+1} (z-a)^n \\ f ^{(k)} (z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1) a _{n+k} (z-a)^n \end{cases} \).
Suppenemissäde \( R \ \begin{cases} = \frac{1}{\lim\sup |a_n| ^ \frac{1}{n} } = \lim\limits_{ n \to \infty} \bigg| \frac{a_n}{a _{n+1} } \bigg| \\ |z-a|\lt R \ ⇒\ f(z) \text{ suppenee} \\ 0 \leq r\lt R \ ⇒\ f(z)\text{ suppenee tasaisesti kiekossa } \bar B (a,r) \end{cases} \).
Ponenttisarja \( \begin{cases} f(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n \\ f'(z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+1)a _{n+1} (z-a)^n \\ f ^{(k)} (z) &= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1) a _{n+k} (z-a)^n \end{cases} \).
Cauchy-Riemann yhtälö \( \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases} \)., missä \( \begin{cases} f= u+iv\\ f’= u_x + i v_x \\ f’ = v_y – i u_y \end{cases} \).
\( \exp(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{n!} \ \begin{cases} \exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)\\ (\exp(z)) ^{-1} = \exp(-z) \\ \exp(\bar z) = \overline{\exp(z)} \\ |\exp(z)|= \exp( \text{Re} (z)) \end{cases} \).
exp, sin, cos \( \begin{cases} e^{z+k\cdot 2\pi i} = e^z \text{ (peoridionen)} \\ \sin (z) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n+1} }{(2n+1)!} = \frac{1}{2i} (e ^{iz} -e ^{-iz} )\\ \cos(z) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n} }{(2n)!} = \frac{1}{2} (e ^{iz} +e ^{-iz} ) \\ e ^{iz} = \cos z + i \sin z\\ z=|z| e ^{i\varphi} \end{cases} \).
Logaritmin päähaara: \( \begin{cases} f(z)=\log |z|+i\varphi_z \\ f'(z)= \frac{1}{z} \end{cases} \).
Tieintegraali \( \displaystyle\int_{ \gamma } f(z)dz = \displaystyle\int_{ a } ^b f \big( \gamma (t) \big) \cdot \gamma'(t) dt \).
\( \gamma_1,\ \gamma_2 \) ovat kvivalentteja: \( \exists \text{kasvava bijektio} \gamma_1 = \gamma_2 \circ \rho,\ \ \rho,\rho ^{-1} \text{ jatkuvasti derivoituvia} \).
Primitiivi \( \begin{cases} \text{määritelmä} & F'(z)=f(z) \\ \text{tieintegraali} & \displaystyle\int_{ \gamma } f dz = F(\gamma(b)) – F(\gamma(a)) \\ \gamma \text{ suljettu tie} &\displaystyle\int_{ \gamma f } dz =0 \end{cases}\).
\( \bigg| \displaystyle\int_{ \gamma } fdz \bigg|\leq \displaystyle\int_{ a } ^b |f(\gamma(t))| \cdot|\gamma’ (t)|dt \leq \max \{ |f(\gamma(t))|\} \displaystyle\int_{ a } ^b |\gamma'(t)|dt \).
\( g(t)= \displaystyle\int_{ a } ^b \varphi (s,t)ds \ ⇒\ \frac{d}{dt} g(t)= \displaystyle\int_{ a } ^b \frac{\partial}{\partial t} \varphi (s,t)ds \).
\(\displaystyle\int_{ 0 }^ {2\pi} \frac{e^{is}}{e^{is}-z} ds = 2\pi,\ \ \forall z \in B(0,1) \).
Cauchyn integraalikaava \( \begin{cases} \gamma(t)=a+re ^{it}, \ \ \forall t\in [0,2\pi],\\ \ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \displaystyle\int_{ \gamma } \frac{f(w)}{w-z} dw,\ \ \forall z \in B(a,r) \end{cases}\).
Cauchyn estimaatti \( \begin{cases} |f(z)|\leq M,\ \ \forall z\in B(a,r) \\ |f ^{(n)} (a)| \leq \frac{n!M}{R^n} \end{cases} \).

Kompleksiluvut, algebralliset ja topologiset perusominaisuudet

Kompleksiluvut

Määr Kompleksilukujen joukko on taso \(\mathbb{C} :=\mathbb{R} ^2 = \mathbb{R \times R} \).
▻▻ \(\begin{cases} \text{yhteenlasku: } &+: \mathbb{C\times C \to C}, & z_1+z_2 = (x_1+x_2,y_1+y_2)\in \mathbb{C} \\ \text{kertolasku: } & \cdot: \mathbb{C\times C \to C}, & z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2 – y_1 y_2, x_1 x_2+ y_1y_2)\in \mathbb{C} \\ \text{itseisarvo/abs} & \text{ euklidinen normi} & |z| = \sqrt{x^2 + y^2}\end{cases} \).
Huom Jokaisella \( z=(x,y)\in \mathbb{R} ^2 = \mathbb{C} \) on napakoordinaattiesitys \( z=r(\cos\varphi,\sin\varphi)\).
▻▻ \( \begin{cases} r=|z| \\ \varphi = Arg(z)\end{cases} \), eli \( z=|z| ( \cos Arg(z), \sin Arg(z))\).
▻▻ Sanotaan \( 0\leq \varphi \lt 2\pi \) on argumentti .
Lause \(\ z_1\cdot z_2 = |z_1| |z_2|( \cos(\varphi_1+\varphi_2), \sin(\varphi_1+\varphi_2))\).
▻▻ myös, \( Arg(z_1 \cdot z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2) + 2k\pi\).
Lause Käanteisalkio \( z^{-1}= |z| ^{-1} (\cos\varphi,-\sin \varphi) = \big( \frac{x}{x^2+y^2} , \frac{-y}{x^2+y^2} \big) \) (se on kertolaskun suhteen).
▻▻ sitten, \( \begin{cases} z^n = |z|^n (\cos (n\varphi), \sin (n\varphi))\\ z ^{-n} = |z|^{-n} (\cos (-n\varphi), \sin (-n\varphi))\end{cases} \).
Huom Reaaliluvuille: \( a=j(a) =(a,0), \ \forall a \in \mathbb{R} \) ja imaginaariyksikkö \( i=(0,1) \in \mathbb{C} \).
▻▻ Nyt, \( \begin{cases} z= Re(z) + i Im(z) \in \mathbb{C} \\ z =(Re(z), Im(z)) \in \mathbb{R} ^2 \end{cases} \).
Määr Kompleksikonjugaatti / liittoluku on \( \bar z = x-iy \in \mathbb{C} \) .
Lause \( z\in \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \ ⇔\ \bar z = z\).
Lause \( \forall\ z,w\in \mathbb{C} \) (\( z\neq 0\) jos tarvitset), pätee:
▻▻ \( \begin{cases} \overline{z+w} = \bar z + \bar w \\ \overline{ zw} = \bar z \cdot \bar w \\ \bar{\bar z}= z \\ Re(z)= \frac{z+\bar z}{2} \\ Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i} \\ |\bar z| = |z| \\ z \bar z = |z|^2 \\ |zw| = |z| |w| \\ z ^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2} \\ |z ^{-1} | = |z |^{-1} \end{cases} \).
Määr Metriikka \( d(z,w) := |z-w|\).
▻▻ erityisen tärkeäa, kolmioepäyhtälö \( |z+w| \leq|z|+|w|\).
Lause Kompleksilukujonno \( (z_n)\) suppenee kohti pistettä \( z \ ⇔\ \begin{cases} \lim Re(z_n) = Re(z)\\ \lim Im(z_n) = Im(z) \end{cases} \).

Kompleksikuvaukset

Olkoot \( A, B \subset \mathbb{C} \).
Lause \( f:A\to \mathbb{C} \) jatkuva pisteessä \( z \ ⇔\ \begin{cases} Re(f):A \to \mathbb{R} \\ Im(f): A \to \mathbb{R} \end{cases} \) (komponenttikuvaukset). ovat jatkuvia \( z\):ssä.
Lause \( \begin{Bmatrix} f:A\to B \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ g: B\to \mathbb{C} \text{ jatkuva } f(z) \text{:ssä} \end{Bmatrix} ⇒ \ g \circ f : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä}\).
Lause \( \begin{Bmatrix} f:A\to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ g: A\to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \end{Bmatrix} ⇒ \ \begin{cases} f+g : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ f\cdot g : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \\ f/g : A \to \mathbb{C} \text{ jatkuva } z \text{:ssä} \end{cases} \).
Lause \( (f_i)\) jono jatkuvia kuvauksia, for all n, niin äärellinen summafunktio \( \sum\limits_{i=0}^{ n} f_i\) on jatkuva.
Määr \( A\subset \mathbb{C} \) on epäyhtenäinen/disconnected, jos on olemassa avoiment, pistevieraat (disjoint) joukot \( X,Y \subset \mathbb{C} : \begin{cases} X\cap A \neq \emptyset\\ Y \cap A \neq \emptyset \end{cases} \) , mutta \( A \subset X\cup Y\).
▻▻ \( A\) on yhtenäinen/connected, jos se ei ole epäyhtenäinen.
Lemma Olk \(\{A_j\} _{j\in I} \) perhe yhtenäisiä osajoukkoja ja \( \bigcap \limits_{ j\in I} \).
▻▻ Tällöin, \( \bigcup \limits_{j\in I} A_j \subset \mathbb{C} \) on yhtenäinen.
Määr \(A\subset G\subset \mathbb{C} ,\ A\) on \(G\):n yhtenäisyyskomponentti, jos se on maksimaalinen yhtenäinen osajoukko.
▻▻ ts. \(\begin{cases} A \text{ yhtenäinen} \\ \text{jos } B \text{ on yhtenainen, ja } A\subset B \text{, niin } A=B \end{cases} \).
Lemma \(G\subset \mathbb{C} \) on yhtenäinen ⇔ G:llä on täsmälleen yksi (exactly one) yhtenisyyskomponentti.
Lemma Olk \(z\in G \subset \mathbb{C}.\ \ \ \exists \ G\):n yhtenäisyyskomponentti \(C:\ z\in C\).
Lause Pokuyhtenäinen (pathwise connected) ⇒ yhtenäinen.
Määr \(a,b\in \mathbb{C} \) yhdistävä yhdistävä jana/segment on kuvuas \(J(a,b):[0,1]\to \mathbb{C} \):
▻▻ \(J(a,b)(t)= a + t(b-a)\).
Määr Jos \(a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb{C}, \ \ \ a_0 \text{ ja } a_n\) yhdistävä murtoviiva/polyline (polygonal chain) on joukko :
▻▻ \([a_0,a_1,\dots,a_n]= \bigcup \limits_{i=1}^{n} J(a _{i-1} ,a_i) ([0,1])\).
Määr Joukko A on murtoviivayhtenäinen, jos \(\forall a,b\in A,\ \exists [a,a_1,\dots,a _{n-1} ,b]\subset A \).
Lause Murtoviivayhtenäinen ⇒ Polkuyhtenäinen.
Lemma \(G\) avoin ⇒ sen yhtenäisyyskomponentti on avoin.
Lause avoin ja yhtenäinen ⇒ on myös murtoviivayhtenäinen.

Review of Real-Valued Series

Määr convergent sequence i.e. \(\lim\limits_{ n \to \infty} a_n =L\) ▻▻ \(\forall \epsilon\gt 0,\exists N\gt 0:\ |a_n-L|\lt \epsilon \text{, whenever } n\gt N\).
Esim \(\lim\limits_{ n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0& -1\lt r\lt1 \\ 1 & r=1 \end{cases} \).
Lause Bounded and monotonic sequence converges.
Lause \(\sum a_n\) converges ⇒ \(\lim\limits_{ n \to \infty} a_n =0\).
Lause (integral test) Let \(a_n=f(n).\ \sum\limits_{n=1}^{ \infty} a_n\) converges ⇔ \(\displaystyle\int_{ 1 } ^\infty f(x)dx\) converges.
Lause (comparison test) Suppose \(a_n \leq b_n,\ \ n\geq N\) for some N.
▻▻ \( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n\) converges ⇒ so does \( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n\) .
Lause (absolute convergence) \(\sum\limits_{n=0}^{ \infty} |a_n|\) convergences ⇒ so does \( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n\).
Lause (ratio test) \(\lim\limits_{ n \to \infty} \big| \frac{a _{n+1} }{a_n} \big| = L \begin{cases} \lt 1 & \text{ ⇒ converges absolutely} \\ \gt 1 & \text{ ⇒ diverges} \\=1 & \text{ no info} \end{cases} \).
Lause (root test) \( \lim\limits_{ n \to \infty} |a_n| ^{1/n} \) same as above.
Määr power series \( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n x^n\).
▻▻ ratio: \( \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{|a _{n+1} |}{|a_n|} |x|= |x| \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{|a _{n+1} |}{|a_n|}\) is easy to investigate.

Jonot ja sarjat

Lause \((z_n)\) suppenee ⇔ \( (Re(z_n)), (Im(z_n))\) suppenevat (realiset jonot). .
▻▻ \( \lim z_n = a \ ⇔ \ \begin{cases} \lim Re(z) = Re(a)\\ \lim Im(z) = Im(a) \end{cases} \).
Lause \(\begin{Bmatrix} \lim z_n = a \\ \lim w_n = b \end{Bmatrix} ⇒ \lim (z_n+w_n) = a+b,\ \lim (z_n w_n) = ab \).
Lause Olk \(G\subset \mathbb{C} ,\ z\in G,\ f,g: G \to \mathbb{C} \), joilla on raja-arvo \(z:\)ssä.
▻▻ \(\lim\limits_{w\to z} (f(z)+g(z)) = \lim\limits_{w\to z} f(z) + \lim\limits_{w \to z} g(z)\);
▻▻ \(\lim\limits_{w\to z} (f(z)\cdot g(z)) = \lim\limits_{w\to z} f(z) \cdot \lim\limits_{w \to z} g(z)\).
Määr Cauchy-jono \(\forall \varepsilon\gt 0, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} :\ |z_n-z_m|\lt \varepsilon,\ \ \forall m,n\geq n_\varepsilon\).
Lause \((z_n)\) Cauchy jono ⇔ \((Re(z_n)), (Im(z_n))\) ovat Cauchy-jonoja.
Lause Suppeneva kompleksilukujono on Cauchy-jono.
Lause \(\mathbb{C} \) on täydellinen ( jokainen Cauchy-jono suppenee ).
Määr Sarja \(\sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i\) suppene, jos on olemassa \(z = \lim\limits_{ n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{ n} a_i\).
Määr Sarja \(\sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i \) suppenee itseisesti / converges absolutely , jos \(\sum\limits_{i=0}^{ \infty} |a_i| \) suppenee.
Lause Itseinen suppeneminen ⇒ suppeneminen (the reverse is not true)
Määr (kuvauksia) \( \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i\) suppenee pisteittäin joukossa \(A\), jos \( \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i(z)\) suppenee \(\forall z\in A\).
▻▻ Pisteittäin suppenevan sarjan summafunktio \(g(z):= \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i(z),\ \ \forall z \in A\).
Määr \( \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i\) suppenee tasaisesti/uniformly kohti funktioita \(g:A\to \mathbb{C} \), jos:
▻▻ \(\forall \varepsilon\gt 0 , \exists N\in \mathbb{N} :\ \bigg| \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i(z)-g(z) \bigg| \lt \varepsilon,\ \forall z\in A \).
▻▻ ▻▻ Tasaiminen suppeneminen ⇒ pisteinen suppeneminen (käänteiminen implikaatio ei päde)
Lause Olkoon \((f_n) _{n\in \mathbb{N} } \) jono jatkuvia kuvauksia, siten että sarja \(\sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i\) suppenee tasaisesti kohti \(g\):tä. Tällöin \( g\) myös on jatkuva.
Lause Weierstrassin M-testi \(\begin{Bmatrix} |f_n(z)|\leq M_n,\ \forall z \\ \sum\limits_{i=0}^{ \infty} M_i \in \mathbb{R} \text{ suppenee} \end{Bmatrix} ⇒ \ \sum\limits_{i=0}^{ \infty} f_i\) suppenee itseisesti ja tasaisesti.
Määr Olkoot \(\sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i,\ \sum\limits_{i=0}^{ \infty} b_i\) kompleksilukusarjoja. Cauchyn tulo on sarja \(\sum\limits_{i=0}^{ \infty} c_i:\ \ c_n = \sum\limits_{k=0}^{ n} a_k b _{n-k} \).
Lause Metrensin lause Jos \(A= \sum\limits_{i=0}^{ \infty} a_i,\ B= \sum\limits_{i=0}^{ \infty} b_i\) (ne ovat supppenevia). Lisäksi, toinen suppenee itseiseti.
▻▻ Tällöin, Cauchyn tulo suppenee ja \(\sum\limits_{i=0}^{ \infty} c_i = AB\).

Potenssisarjat

Määr Potenssisarja on sarja \(\sum\limits_{n=0}^{ \infty} f_n(z),\ \ \ f_n(z)=a_n (z-a)^n\).
Huom \(w^0=1,\ \forall w\in \mathbb{C} \).
Esim \(\sum\limits_{n=0}^{ \infty} z^n\) suppenee itseisesti kun \(|z|\lt 1\).
Määr Reaaliluvuille \(\limsup a_n = \begin{cases} \lim\limits_{ n \to \infty} \sup \{a_i|i\geq n\} &a_n\text{ rajoitettu}\\ \infty & \text{muuten} \end{cases} \).
Lause Kompleksinen potenssisarjan suppeminen.
Olkoon \(\sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n,\ \ R = \frac{1}{\limsup |a_n| ^{\frac{1}{n} }} \in [0,\infty]\). Tällöin
▻▻ \(\begin{cases} |z-a|\lt R & ⇒ \text{sarja suppenee itseisesti} \\|z-a|\gt R & ⇒ \text{sarja hajaantuu} \\ 0\leq r\lt R & ⇒ \text{suppenee tasaisesti kiekossa } \bar B(a,r) \end{cases} \).
Määr \(R\) on suppenemissäde / convergence radius .
Lause Suppenemissäde \(R=\lim\limits_{ n \to \infty} \bigg| \frac{a_n}{a _{n+1} } \bigg| \), jos se on olemassa.
Määr Kompleksinen eksponenttifunktio \(exp: \mathbb{C \to C} :\ \ \ e^z = exp(z) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{x^n}{n!} \).
Lause Oletetaan, että \(\sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n,\ \sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n (z-a)^n\) suppenevat pisteittäin \(B(a,r)\):ssa.:
▻▻ \( \begin{cases} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (a_n+b_n) (z-a)^n = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n + \sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n (z-a)^n \\ \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \bigg( \sum\limits_{k=0}^{ n} a_k b _{n-k} \bigg) (z-a)^n = \bigg( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n \bigg) \bigg( \sum\limits_{n=0}^{ \infty} b_n (z-a)^n \bigg) \end{cases} \) .

Analyyttiset funktiot

Määr funktio on derivoituva pisteessä, jos \(\exists\ \lim\limits_{h\to0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \in \mathbb{C} \).
▻▻ merkitään symbolilla \(f'(z)= \frac{d}{dz} f(z)\).
Lause \(f:G\to \mathbb{C} \) derivoituva pisteessä \(z\ ⇒ \ f\) on jatkuva pisteessä.
Lause Jos \(f,g:G\to \mathbb{C} \) ovat derivoituvia pisteessä \(z \ ⇒ \ f+g,\ f\cdot g\) ovat myös derivoituvia z:ssä, ja
(1) \((f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)\);
(2) \((f\cdot g)'(z) = f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\);
(3) \(\bigg( \frac{f}{g} \bigg)'(z) = \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^2} \).
Lause Ketjusääntö \((g\circ f)'(z)=g'(f(z))\cdot f'(z)\).
Lause Suppenemiskiekossaan potenssisarja voidaan derivoida termeittäin, eli,
\(f:B(a,R) \to \mathbb{C},\ f(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n \) on analyyttinen ja pätee:
▻▻ \(f'(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+1)a _{a+1} (z-a)^n,\ \ \forall z\in G\) .
▻▻ ▻▻ R on suppenemissäde. Jos \(R=\infty\) käytä \(\mathbb{C} \) kiekkona.
Lause Kuvaus \(f(z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n (z-a)^n\) on myös äärettömän monta kertaa drivoituva ja pätee
▻▻ \(f ^{(k)} (z)= \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (n+k)(n+k-1)\cdots (n+1 ) a _{n+k} (z-a)^n\).
Lause Kuvaus \(f:G\to \mathbb{C} / \mathbb{R} ^2, \ \begin{cases} f(z)=u(z)+iv(z) \\ f(x,y) = u(x,y)+v(x,y) \end{cases} \) on analyyttinen ⇔ \(u_x,u_y,v_x,v_y\) ovat jatkuvia G:ssä ja totettavat Cauchy-Riemann-yhtälöt.
▻▻ Cauchy-Riemann-yhtälöt \( \begin{cases} u_x = v_y \\ v_x =-u_y \end{cases} \);
▻▻ pätee \(f'(z)=u_x(x,y)+iv_x(x,y) = v_y(x,y)-iu_y(x,y)\).

Cauchy-Rieman equations are derived from the definition of limit existence: from both vertical and horizontal, the (real-valued) limits coincide. \( u_x= \frac{\partial u}{\partial x},\dots \) (analytical function = derivable function)

Määr Olkoon \(I \subset \mathbb{R} \) suljettu ja rajoitettu, \(\gamma:I\to \mathbb{C} \) polku (i.e. continuous map). Sanotaan, että se on tie, jos \(I\to \mathbb{R} ,\ t \mapsto \text{Re} (\gamma(t)),\ t\mapsto \text{Im} (\gamma(t))\) ovat paloittain/path-wise jatkuvasti drivoituvia tavallisessa reaalisessa mielessä.
▻▻ Tien \(\gamma\) drivaatta pisteessä \(\gamma'(t)= \frac{d}{dt} \text{Re} (\gamma(t)) + i \frac{d}{dt} \text{Im} (\gamma(t))\).
Esim \( \gamma:[0,2\pi]\to \mathbb{C} ,\ \gamma (t)= \cos t + i \sin t\ ⇒\ \gamma'(t)=-\sin t + i\cos t \) (on tie).
Lause Olkoot \(f:G\to \mathbb{C} \) analyyttinen kuvaus ja \(\gamma:I\to G\) tie. Tällöin,
▻▻ \((f\circ \gamma)'(t)=f'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\).
Lause \(f'(z)=0,\ \forall z\in G\ ⇒ \ f\) on vakio.
▻▻ huomautus: \(G\subset \mathbb{C} \) avoin ja yhtenäinen.
Lause Olkoon \([a_0,\dots,a_n]\subset \mathbb{C} \) Tällöin:
▻▻ \(\exists [a,b]\subset \mathbb{R} \text{ja tie } : \gamma:[a,b] \to \mathbb{C} \begin{cases} \gamma([a,b])= [a_0,\dots,a_n] \\ \gamma(a)=a_0\\ \gamma(b)=a_n \end{cases} \).

Eksponenttifunktio, logaritmi, sini ja ksini

Lause \(\exp(z)=e^z= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \ \ \ \ \forall z,w\in \mathbb{C} \) pätee:
(1) \(\exp(z+w)=\exp(z)\cdot\exp(w)\);
(2) \( \frac{1}{\exp(z)} = \exp(-z)\);
(3) \( \exp(\bar z) = \overline{ \exp(z)} \);
(4) \(|\exp(z)|= \exp (Re(z))\).
Lemma Potenssisarjat \(\sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n+1} }{(2n+1)!} \text{ ja } \sum\limits_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{z ^{2n} }{(2n)!} \) suppenevat koko kompleksitasossa.
Määr Define the above as \(\sin(z),\ \cos(z)\) correspondingly.
Lause Sini ja cosini ovat koko tasossa analyyttisiä, joille pätee:
▻▻ \(\frac{d}{dz} \sin(z)=\cos(z),\ \ \frac{d}{dz} \cos(z)=-\sin(z),\ \ \forall z\in \mathbb{C} \).
Lause \(\begin{cases} \cos (z)= \frac{1}{2} (e ^{iz} + e ^{-iz} ) \\ \sin(z) = \frac{1}{2i} ( e ^{iz} – e ^{-iz} )\end{cases} \).
Lause \(\sin^2(z)+\cos^2(z)=1\).
Lause \(e ^{iz} =\cos (z) + i \sin(z)\).
Lause \(z=|z|e ^{i\varphi},\ \ \varphi \) on z:n napakulma.
▻▻ \(z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi) = |z| e ^{i\varphi} \).
▻▻ \(e ^{i\pi} =1\).
Lause \(e^z = e ^{Re(z)} (\cos Im(z) + i\sin Im(z))=e^x(\cos y + i \sin y)\).
Lause \(e^z \neq 0,\ \ \forall z\in \mathbb{C} \).
Määr Funtio on periodinen periodina \(c\in \mathbb{C} \setminus\{0\}\), jos \(f(z+c)=f(z), \ \forall z\).
Lause Exponenttifunktio on periodinen, periodina \(2\pi i\).
Lause Olkoon \(z,c\in \mathbb{C}.\ \ e ^{z+c} =e^z \ ⇒ \ c=k\cdot 2\pi i\).
Huom Kompleksiluvun logaritmi on joukko. Logaritmi ei ole kuvaus.
▻▻ \(\log(z)= \{\log|z|+i\varphi + k\cdot 2\pi i \ |\ k\in \mathbb{Z} \}\).
Määr Olkoon \(G\subset \mathbb{C} \setminus \{0\}\) avoin ja yhtenäinen. \(f:G\to \mathbb{C} \) jatkkuva:
▻▻ logaritmin haara G:ssa on \(e ^{f(z)} =z\).
Lause \(g:G\to \mathbb{C} \) on logaritmin haara ⇔ \(\exists k\in \mathbb{Z} :\ g(z)=f(z)+k\cdot 2\pi i,\ \ \forall z\in G\).
Määr Logaritmin päähaara \( f(z)=\log |z| +i \varphi_z \).
▻▻ koska, \( e ^{f(z)} = e ^{\log |z|} e ^{i\varphi_z} = |z|e ^{i\varphi_z}=z \).
Lause Olkoot \( G_1,G_2\subset \mathbb{C} ,\ f:G_1\to G_2,\ g:G_2 \to \mathbb{C}, \ \ f\) jatkuva ja \( g(f(z))=z \). Jos g derivoituva piestessä \( f(z) \), niin
▻▻ f on derivoituva z:ssä ja \( f'(z)= \frac{1}{g'(f(z))} \).
▻▻ g on analyyttinen G1 :ssa ⇒ f on G2 :ssa.
Lause f logaritmin haara avoimessa joukossa. Tällöin, \( f'(z)= \frac{1}{z} \ \ \forall z \).
Määr Yleinen potenssi \( z^b = \exp(b\log z) \).

Tieintegraalit

Kertaus:
Käyräintegraali (Curve integral) \( \displaystyle\int_{ \gamma } fds:= \displaystyle\int_{ a } ^b f(\gamma(t))||\gamma’ (t)||dt \);
Vektoriarvoiselle \( \displaystyle\int_{ \gamma } fds:= \displaystyle\int_{ a } ^b f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt \);
Riemann kompleksiarvoille \( \displaystyle\int_{ a } ^b f(t)dt := \displaystyle\int_{ a } ^b \text{Re} f(t)dt + i \displaystyle\int_{ a } ^b \text{Im} f(t)dt \).
Määr Kompleksinen f:n integraali yli tien $ \gamma $:
▻▻ \( \displaystyle\int_{ \gamma } f(z)dz:= \displaystyle\int_{ a}^b f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt \).

You must be logged in to post a comment.