Algebra: Renkaat, Kunnat ja Ryhmät

Kokonaislukujen aritmetiikkaa

en. Integer arithmetic

Jokoyhtälö ja jaollisuus

en. Euclidean division and divisibility

Määr Kun kokonaisuluku \( a\) jaetaan positiivisella kokonaisluvulla \( b\), saadaan osamäärä / quotient \( q\) ja jakojäänös / remainder \( 0\leq r \lt b\).

Esim \( -17 = 6 \cdot \underbrace{(-3)}_{osamäärä} + \underbrace{1}_{jakojäänös} \).

Lause Jakoyhtälö / Euclidean division Olkoot \( a,b\) kokonaislukuja:
▻▻ \( \exists q,r\in \mathbb{Z}: a=bq+r,\ \ 0\leq r \lt b\).
▻▻ \( q,r\) ovat yksikäsitteiset/unique.

Määr Olk \( a,b \in \mathbb{Z} \), Luku \( b\) jakaa luvun \( a\):
▻▻ Jos \( a=bc\) jollain \( c\in \mathbb{Z} \), merkitään \( b|a\) Jos ei, \( b \not | a\).

Esim \( -3|12,\ 3\not | 13\).

Määr Lukujen \( a\) ja \( b\) suurin yhteinen tekijä / greatest common divisor on \( d\), merktiään \( (a,b)=d\) jos:
(1) \( d|a \text{ a } d|b\);
(2) Jos \( c|a \text{ a } c|b\), niin \( c\leq d\).

Lause Olkoot \( a,b,d\) kuten määritelmässä., \( \exists u,v \in \mathbb{Z} : d=au+bv \).
▻▻ ei välttämättä yksikäsitteiset.

Lause \( \begin{Bmatrix} a|bc \\(a,b)=1 \end{Bmatrix} ⇒ a|c \).

Alkuluvut ja aritmetiikan peruslause

Määr \( p\neq 0,\pm 1\) on alkuluku / prime number jos p:n ainoat tekijät ovat \( \pm 1,\pm p\).

Lause \( \begin{Bmatrix} p \text{ alkuluvu}\\ p|(a_1 a_2 \cdots a_n) \end{Bmatrix} ⇒ p\) jakaa ainakin yhden luvuista \( a_i\).

Lause Jokainen kokonaisluku on alkulukujen tulo, ts. \( n=p_1 \cdots p_r\).

Lause Aritmetiikan peruslaus / Fundamental theorem of arithmetic:
Jokainen kokonailuku on alkulukujen tulo, ja tulo on yksikäsitteinen. (ei ±)

Kongruenssit ja modulaariaritmetiikka

Kongruenssit ja jäännösluokat

Määr Olkoot \( a,b,n \in \mathbb{Z},\ n\gt 0.\ a\) on kongruentti / congruent \( b\):n kanssa modulo \( n\), jos \( n\) jakkaa luvun \( a-b\).
▻▻ ts. \( \exists k\in \mathbb{Z} : a- b = kn\).
▻▻ Metkitään \( a \equiv b\ \text{ (mod } n)\).

Esim \( 13 \equiv 7\text{( mod } 3);\ 10 \equiv -14 \text{ (mod } 6);\ a\equiv a \text{ (mod } n)\) aina.

Lause Jos \( a \equiv b\text{ (mod } n) \) ja \( c \equiv d\text{ (mod } n) \), niin:
(1) \( a+c \equiv b+d\text{ (mod } n) \);
(2) \( ac \equiv bd\text{ (mod } n) \).

Määr Luvun \( a\) jäännösluokka / residue(congruence) class / 商余集合 on \( [a]_n\):
▻▻ \( \begin{align} [a]_n &=\{b\in \mathbb{Z} : b \equiv a\text{ (mod } n) \} \\&=\{b\in \mathbb{Z} : b=a+kn \text{, jollain } k\in \mathbb{Z} \} \end{align} \).

Lause Olkoot \( a,b,c,n \in \mathbb{Z} ,\ n\gt0\):
(1) refleksiivisyys: \( a \equiv a\text{ (mod } n) \);
(2) symmetrisyys: \( a \equiv b\text{ (mod } n) \ ⇒ \ b \equiv a\text{ (mod } n) \);
(3) transitiivisuus: \( \begin{Bmatrix} a \equiv b\text{ (mod } n) \\ b \equiv c\text{ (mod } n) \end{Bmatrix} \ ⇒ \ a \equiv c\text{ (mod } n) \).

Lause \( a \equiv c\text{ (mod } n) \ ⇔\ [a] = [c] \).

Lause Jäännösluokille \( [a]_n,\ [b]_n\) pätee joko \( [a]_n = [c]_n\) tai \( [a]_n \cap [c]_n = \emptyset\).

Lause Eri jäännösluokka muodulo \( n\) on täsmälleen \( n\) kappaletta, \( [0],[1],\dots, [n-1]\).

Määr Meriktäan kaikkien jäännösluokkien joukkoa symbolilla \( \mathbb{Z}_n :=\{[0],[1],\dots, [n-1]\}\).

Esim Quick note: integers mod \( n\) partition \(\mathbb{Z} [latex] into [latex] n\) different equivalence classes; we will denote the set of these equivalence classes by \( \mathbb{Z} _n\).

Modulaariaritmetiikka

Määr Jäännösluokkarenkkat:
▻▻ \( [a]\oplus [b] = [a+b]\).
▻▻ \( [a]\odot[b] = [ab]\).

Lause Jos \( [a]=[c]\) ja \( [b]=[d]\ \mathbb{Z} _n\):ssä:
▻▻ \( [a+b]=[c+d],\ \ [ab]=[cd]\).

Huom If the set \( \mathbb{Z}_n \) is not specified, the above relationship, in general, does not hold.

Kompleksiluvut

Kompleksilukujen aritmetiikka

Määr Asetetaan \(\mathbb{R} ^2\) alkioille \(z_1=(x_1,y_1),\ z_2=(x_2,y_2)\) .
▻▻ \(\begin{cases} \text{summa} & z_1+z_2 = (x_1+x_2,y_1+y_2)\\ \text{tulo} & z_1 z_2 = (x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1) \end{cases} \).

Lause Lakutoimitukset
▻▻ \(\begin{cases} z ^{-1} = \big( \frac{x}{x^2+y^2} , \frac{-y}{x^2+y^2} \big) \\ z_1/z_2 = z_1 z _{2}^{-1}= \frac{z_1 \bar z_2}{|z_2|^2} \\ |z|^2= z \bar z \end{cases} \).

Kompleksiluvut ja polynomit

Lause Algebran peruslause Olkoon \(f(z)=a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n\) (polynomi, \(a_i\in \mathbb{C} \)). Tällöin \(f(z)[latex] on juuri/root [latex]z_0 \in \mathbb{C} \).

Lause Jos \(z\in \mathbb{C} \text{ on } f(z)\):n juuri, niin myös \(\bar z\) on juuri.

Napakoordinaatit ja ykkösen juuret

Määr \(z= |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ \ \varphi\in [0,2\pi]\).

Lause Napakoorinaatin avulla:
▻▻ \(\begin{cases} z^2 = |z|^2 (\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi)\\ zw= |z||w| (\cos (\varphi+\phi) + i \sin (\varphi + \phi)) \end{cases} \).

Määr Ykkösen juuri / root of unity on \(z\in \mathbb{C} : \ z^n=1\).
▻▻ Saadaan \(\begin{cases} |z|=1 \\ \varphi = \frac{k}{n} 2\pi,\ k\in \mathbb{Z} \end{cases} \).

Lause Kompleksisen eksponenttifunktio: \(\cos\varphi+i\sin\varphi = e ^{i\varphi} \).

Lause \(1 = e ^{i \cdot 0} , e ^{2\pi i /n} , e ^{4\pi i /n},\dots, e ^{2(n-1)\pi i /n}\).

Renkaat, kunnat ja homomorfismit

Renkaan määritelmä

Määr Joukon \(R\) laskutoimitus / operationon kuvaus \(R\times R \to R\) .

Määr Rengas / Ring on epätyhjä joukko \(R\) varustettuna kahdella laskutoimituksella (two operations, usually + and ·), jotka toteuttavat seuraavat ehdot kaikilla \(a,b,c \in R\).
(1) \( a+(b+c) = (a+b)+c\) ;
(2) \( a+b = b+a\) ;
(3) \( \exists 0_R \in R:\ a+0_R = a = 0_R +a\) ;
(4) \( a+x=0_R\):llä on ratkaisu \(x\in R\) ;
(5) \( a(bc)=(ab)c\) ;
(6) \( a(b+c)=ab+ac,\ \ (a+b)c = ab+ac\) ;
(7) \( \exists 1_r:\ a \cdot 1_R = a = 1_R \cdot a\) .
▻▻ liitännäisyys / associativity (1-5); 2 vaihdannaisuus / commutativity (2); \(0_R,\ 1_R\) ovat neutraalialkiot; osittelulaki / distributivity

Määr Regas on vaihdannainen / commutative, jos
(8) \(ab=ba\).

Esim \(\mathbb{Z,Q,R,C,Z_n} \) ovat vaihdannaisia renkaita. Mutta, \(\mathbb{Z}^+ \) ei ole, koska (4) ei päde.

Esim Neliömatriisien renkaat ovat ei+vaihdannaisia renkaita.

Esim \(\mathcal{F} (\mathbb{R} )=\{f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} \}\) on vaihdannainen rengas.
▻▻ Pidä asettaa \(\begin{cases} (f+g): \mathbb{R}\to \mathbb{R} & (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\ (fg): \mathbb{R}\to \mathbb{R} & (fg)(x) = f(x)g(x) \end{cases} \).

Renkaiden perusominaisuudet

Lause Yhtällöllä \(a+x=0_R\) on yksikäsitteinen/unique ratkaisu.

Lause Olkoon \(R \text{ rengas, } a,b,c \in R\) Tällöin, \( a+b=a+c\ ⇒ \ b=c\).

Lause Olkoon \(R \text{ rengas, } a,b\in R\):
▻▻ \(\begin{cases} a\cdot 0_R = 0_R = 0_R \cdot a \\ a(-b)=-ab,\ \ (-a)b=-ab \\ -(-a)=a \\ -(a+b)= (-a)+(-b)\\ -(a-b) = -a+b \\ (-a)(-b)=ab \\ (-1_R)a = -a \end{cases} \).

Kunnat ja kokonaisalueet

Määr Vaihdannainen rengas \(K,\ \ 0_K \neq 1_K\), on kunta/field jos
▻▻ \(\forall a \neq 0_K:\ ax=1_K\) on ratkaisu K:ssa.

Huom Field is a ring with commutativity of multiplication and multiplicative inverses.

Lemma Olkoon K kunta. Tällöin yhtälön ratkaisu on yksikäsitteinen.

Määr Vaihdannainen rengas \(R,\ \ 0_R \neq 1_R\), on kokonaisalue/integral domain jos
▻▻ \(\forall a,b\in R:\ \ ab=0_R\ ⇒\ a = 0_R \text{ tai } b=0_R \).

Lause R kokonaisalue ja \(a,b,c\in R,\ a\neq 0_R:\ ab=ac \ ⇒ \ b=c\).

Lause Kunta ⇒ kokonaisalue.

Esim \(\mathbb{Z} \) on kokonaisalue, mutta ei kunta. \(\mathbb{Q,R,C} \) on kunta.

Lause R äärellinen rengas: kunta ⇔ kokonaisalue.

Lause Jäännösluokkarengas \(\mathbb{Z} _p\) on kunta ⇔ p on alkuluku.

Yksiköt ja nollanjakajat

Olkoon R on rengas

Määr Jos \( \exists u \in R:\ au=1_R =ua\), niin a on R:n yksikkö/unit.
▻▻ Tällöin u on a:n käänteisalkio, merkitään \(u= a^{-1} \).

Määr Jos \(\exists c\in R,\ c\neq 0_R: \ ac=0_R \text{ tai } ca=0_R\), niin a on R:n nollanjakaja/zero divisor.

Huom Yksikkö ei voi olla nollanjakaja.

Esim Yksikkö ja nollanjakaa:
▻▻ \(1_R\) on aina yksikkö renkassa;
▻▻ Jos K on kunta, jokainen \(a\neq 0_K\) on yksikkö;
▻▻ Kokonaisalueessa, mikään alkoi ei ole nollanjakaja;
▻▻ Kokonaisalueessa, yksiköt ovat \(\pm 1\).

Lause \([a]eq [0]\) on \(\mathbb{Z} _n\) yksikkö ⇔ \((a,n)=1\); Jos se ei ole yksikkö, se on nollanjakaja.

Määr Tulorengas \(R\times S\) laskutoimitukset asettamalla:
▻▻ \(\begin{cases} (r_1,s_1)+(r_2,s_2)= (r_1+r_2 ,s_1+s_2)\\ (r_1,s_1)(r_2,s_2)= (r_1 r_2, s_1 s_2) \end{cases} \).
▻▻ tulorengas on todella rengas.

Esim Tulorenkaiden esimerkkejä:
▻▻ \(\mathbb{R \times R} = \mathbb{R} ^2\);
▻▻ \(\mathbb{Z_2 \times Z_2} \):ssä on 4 alkoita: \(([0],[0]),\ ([0],[1]),\ ([1],[0]),\ ([1],[1])\).

Alirenkaat

Olkoon R rengas

Määr \(S\subset R,\ 1_R \in S\) ja laskutoimituksilla varustettuna on myös S:ssä. Se on alirengas/subring
▻▻ S on suljettu, jos \(x,y\in S\ ⇒ \ x+y\in S, \ xy\in S\);
▻▻ The definition of alikunta/subfield is similar.

Lause Alirengaskriteeri: S on R:n alirengas, jos
(0) \(S \subset R,\ 1_R \in S\);
(1) \(a,b\in S\ ⇒ \ a-b\in S\);
(2) \(a,b\in S\ ⇒ \ ab\in S\).

Esim Aligenkaiden esimerkkejä:
▻▻ \(\mathbb{Z\subset Q \subset R \subset C} \) on alirenkaista ja alikunnista (Z ei ole).
▻▻ \(\mathbb{Z,\ Z}_n \):llä ei ole aitoja alirenkaita.

Lemma Olk \(S\subset \mathbb{Z} \) alirengas ⇒ \(S= \mathbb{Z} \).

Lemma Olk \(S\subset \mathbb{Z} _n\) aligrengas ⇒ \(S= \mathbb{Z} _n\).

Homomorfismit ja isomorfismit

Määr Kuvuas \( f:R\to S\) on homomorfismi jos \(\begin{cases} f(1_R) = 1_S \\ f(a+b)= f(a)+f(b) \\ f(ab)=f(a)f(b) \end{cases} \).

Määr Kuvaus \(f:R\to S\) on isomorfismi, jos f on bijektiivinen homomorfismi
▻▻ Rengas R on isomorfinen renkaan S kanssa, jos on olemassa isomorfismi \(f:R\to S\).

Lemma Renkaiden isomorfisuus on ekvivalenssirelaatio, eli:
(1) R on isomorfinen itsensä kanssa;
(2) \(f:R\to S\) isomorfismi ⇒ \(f^{-1}:S\to R \) on myös isomorfismi;
(3) \(f:R\to S, \ g: S \to T\) isomorfismeja ⇒ \(g \circ f: R \to T\) isomorfismi.

Homomorfisien ja isomorfismien perusominaisuudet

Lause Olkoot \(R,\ S\) renkaita, ja \(f:R\to S\) homomorismi. Tällöin
(1) \(f(0_R) = 0_S\);
(2) \(f(-a)=-f(a),\ \forall a \in R\);
(3) \(f(a-b)= f(a)-f(b),\ \forall a,b \in R\).

Seuras Kuvajoukko \(f(R)=\{ y\in S: y=f(x),\ x\in R \}\) on S:n alirengas.

Lause \(u\in R\) on yksikkö ⇒ \(f(u)\) on myös yksikkö ja \(f^{-1}(u) =f(u ^{-1} )\).

Lause Olkoon \(f:R\to S\) isomorfismi. Tällöin
(1) R, S:ssä on sama määrä alkioita;
(2) R vaihdannainen ⇔ S vaihdannainen;
(3) R kokonaisalue ⇔ S kokonaisalue;
(4) R kunta ⇔ S kunta;
(5) \(u \in R \) yksikkö ⇔ \(f(u)\) yksikkö.

Lause Olkoon \(ab=n.\ \mathbb{Z} _n\) ja \(\mathbb{Z} _a \times \mathbb{Z} _b\) isomorfiset ⇔ \((a,b)=1\).

Polynomien aritmetiikka

Polynomirenkaat

Määr Olkoon R vaihdannainen rengas. Tällöin
▻▻ R-kertoiminen polynomi on jono \(f=(a_1,a_1,\dots,a_n,0_R,0_R,\dots)\), missä
▻▻ ▻▻ kertoimet/coefficient \(a_j\in R,\ a_j\neq 0_R\) äärellinen .
▻▻ Kaiikien R-kertoimisten polynomien joukkoa merkitään \(R[x]\).

Määr Aste/degree \( \text{deg} f\) on suurin luku \(n\geq 0,\ a_n \neq 0_R\).
▻▻ \(a_n\) on f korkeimman asteen kerroin.
▻▻ Nollapolynomille astetta ei määritellä.

Huom Usein merkintäa \(f=(a_1,a_1,\dots,a_n,0_R,0_R,\dots)=a_0 + a_1x+a_2x^2+\cdots+a_n x^n \text{, muotoa } 0_R x^k\).
▻▻ f EI ole funktio, x EI ole muuttuja.

Lause \(R[x]\) varustettuna lakulla:
▻▻ \(\begin{cases} (a_0,a_1,a_2,\dots) + (b_0,b_1,b_2,\dots) = (a_0+b_0, a_1+b_1,a_2+b_2) \\ (a_0,a_1,a_2,\dots) \cdot (b_0,b_1,b_2,\dots) = (\sum\limits_{k+l=0}^{ } a_k b_l,\ \sum\limits_{k+l=1}^{ } a_k b_l,\ \sum\limits_{k+l=2}^{ } a_k b_l,\dots) \end{cases} \).

Kokonaisalueen ja kunnan polynomirenkaat

Lemma Olkoon R konknaisalue ja \(f,g\in R[x]\) ja kumpikaan ei ole nollapolynomi. Tällöin,
▻▻ \(\text{deg} fg= \text{deg} f + \text{deg} g\).
▻▻ Erityisesti \(R[x]\) on kokonaisalue.

Seuraus R kokonaisalue ja \(f\in R[x]\). Tällöin
▻▻ f on yksikkö ⇔ \(f=a\) on vakiopolynomi (a on R:n ykisikkö).

Lause Polynomien jakyhtälö Olkoon K kunta ja \(f,g\in K[x],\ g\neq 0_K\) Tällöin:
▻▻ on yksikäsitteiset \(q,r\in K[x]:\ f=gq+r\) missä joko \(r=0_K \text{ tai deg}r\lt \text{deg} g\).

Polynomien jaollisuus ja tekijöihinjako

Olkoon K kunta, ja \(f,g\in K[x],\ g\neq 0_K\) ja sitten, että ainakin toinen ei ole nollapolynomi.

Määr g jakaa polynomin f, eli \(g|f\) jos \(\exists h\in K[x]:\ f=gh\).

Lemma Olkoon \(g|f\). Tällöin:
(1) \(cg|f\ \forall 0_k\neq c\in K\);
(2) \(\text{deg} g\leq \text{deg} f\).

Määr Polynomi \(h\in K[x]\) on pääpolynomi, jos h korkeimman asteen kerroin on \(1_K\).

Määr Pääpolymi \(h\in K[x]\) on polynomien f ja g suurin yhteinen tekijä, jos
(1) \(h|f,\ h|g\) ja,
(2) \(k|f, k|g \ \Rightarrow \text{deg} k\leq \text{deg} h\).

Lause f,g:n suurin yhteinen tekijä on yksikäsitteinen. Lisäksi,
▻▻ \(\exists u,v\in K[x]: \ h=fu+gv\).

Määr Polynomi \(f\neq 0_K\) on jaollinen renkaassa, jos
▻▻ \(f=gh \text{ jollain } g,h\in K[x], \begin{cases} \text{deg} g\lt \text{deg} f\\ \text{deg} h\lt \text{deg} f \end{cases} \).

Lause Olkoon polynomi \(p\in K[x],\ \text{deg} p\geq 1\). Tällöin
▻▻ p on jaoton ⇔ \(\forall f,g\in K[x]:\ p|fg \Rightarrow p|f \text{ tai } p|g\).

Seuraus \(p|f_1f_2\cdots f_n\ \Rightarrow \ p|f_j \text{ jollain } j=1,\dots,n\).

Lause Aritmetiikan peruslasue polynomeille Jokainen polynomi \(f\in K[x],\ \text{deg} f\geq 1\) voidaan esittää renkaassa jaottomien polynomien tulona.
▻▻ \(p_1\dots p_n = f = q_1 \cdots q_m,\ \ \text{deg} f_i, \text{deg} q_i \geq 1\) pätee \(n=m\).
▻▻ ▻▻ Lisäksi, voidaan järjestää uudelleen siten, että \(p_i=a_i q_i,\ a_i\in K\).

Polynomifunktiot, juuret ja jaollisuus

Olkoon K kunta. Kaikkien funktioiden \(F:K\to K\) joukkoa merkitään \(\mathcal{F}(K)=\{F:K\to K\}\).

Lemma \(\mathcal{F} (K)\) varustettuna pisteittäisillä laskulla:
▻▻ \(\begin{cases} (F+G)(x):= F(x)+G(x);\\ (FG)(x):= F(x)G(x) \end{cases} \).

Lause Määritellään funktio \(\Phi:K[x]\to \mathcal{F}(K)\) seuravasksi:
▻▻ Jos \(f=a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\in K[x]\), niin funktio \(f(x)=\Phi (f): K\to K:\ f(x)=a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\).
▻▻ Tällöin \(\Phi\) on homomorfismi.

Määr Olkoon\( f\in K[x].\ a\in K \) on polynomin f juuri, jos \( f(x)=\Phi(f) \):lle pätee \( f(a)=0_K \) .

Lause Olkoon \( f\in K[x],\ a\in K \). Tällöin \( \exists q \in K[x]:\ f=(x-a)q+f(a) \).

Lause Tekijalause a on f:n juuri ⇔ \( (x-a)|f \).

Seuraus f on jaoton ⇒ f:lla ei ole juuria kunnassa.

Lause Olkoon \( f\in K[x] \) toisen tai kolmannen asteen polynomi. f:lla ei ole juuria ⇒ se on jaoton.

Seuraus K ääretön kunta ⇒ homomorfismi \( \Phi \) on injektio.

Ehtoja jaottomuudelle

Lause \( \begin{cases} f\in \mathbb{C} [x] \text{ on jaoton} & \ ⇔ \ \text{deg} f\in \{0,1\} \\ f\in \mathbb{R} [x] \text{ on jaoton} & \ ⇔ \ \text{deg} f\in \{0,1\} \text{ tai } f=ax^2+bx+c,\ \ b^2-4ac\lt 0\end{cases} \).

Lause Olkoon \( f=a_0+a_1 x + \cdots + a_n x^n \) (kertoimet ovat kokonaislukuja). \( 0\neq r/s \) on juuri ⇒ \( r|a_0,\ s|a_n \) .

Lause Eisensteinin ehto / Eisenstein criteria Olkoon \( f=a_0+a_1 x + \cdots + a_n x^n \in \mathbb{Q} [x] \). kokonaislukukertoiminen polynomi.
▻▻ Jos \( \exists \text{ alkuluku } p:\ \begin{Bmatrix} p|a_j, \forall j\neq n\\ p \not| a_n \\ p^2 \not | a_0 \end{Bmatrix} \ ⇒ \ f \) on jaoton.
(be aware of the order of the polynomial)

Polynomien modulaariaritmetiikkaa

Olkoon K kunta.

Polynomien kongruenssit

Määr \( f \equiv g \ ( \text{mod }p) \) jos p jakaa polynomin f-g.

Esim \( x^3-3x^2+1 \equiv -3 \ ( \text{mod }x-2)\ \ \ \mathbb{Q} [x] \) :ssa.

Lemma Ominaisuudet polynomin kongruenssille modulo p
(1) \( f \equiv f \ ( \text{mod }g) \);
(2) \( f \equiv g \ ( \text{mod }p) \ ⇒ \ g \equiv f \ ( \text{mod }p) \);
(3) \( \begin{Bmatrix} f \equiv g \ ( \text{mod }p)\\ g \equiv h \ ( \text{mod }p) \end{Bmatrix} \ ⇒ \ f \equiv h \ ( \text{mod }p) \).

Lause Olkoon \( p\in K[x],\ p\neq 0_K \):
▻▻ \( \begin{Bmatrix} f \equiv g \ ( \text{mod }p) \\ h \equiv k \ ( \text{mod }p) \end{Bmatrix} \ ⇒ \ \begin{cases} f+h \equiv g+k \ ( \text{mod }p) \text{ ja, }\\ fh \equiv gk \ ( \text{mod }p) \end{cases} \).

Määr Polynomien joukko \( [f]_p = \{ g\in K[x]: g \equiv f \ ( \text{mod }p) \} \) .

Esim Olkoon \( p=x^2+x +[1]\in \mathbb{Z} _2[x] \). Tällöin \( [x]_p=[x^2+[1]]_p \).
▻▻ usually we use the symbol of \( [x^2+1]_p \), which has the same degree.

Lause Olkoon \( p\in K[x],\ \text{deg} p\geq 1 \). Tällöin
(1) \( f \equiv r \ ( \text{mod }p) \ ⇒ \ [f]_p = [r]_p \);
(2) Olkoon \( S=\{ r\in K[x]: r=0_k \text{ tai deg}r \lt \text{deg} p \} \). Tällöin, jokaiseen jäännösluokkaan modulo p kuuluu täsmälleen yksi \( r\in S \).

Määr \( K[x] \): jäännösluokkien joukkoa modulo p merkitään \( K[x]/p \).
▻▻ \( K[x]/p:= \{[r]_p: r=0_k \text{ tai deg} r \lt \text{deg} p\}\).

Esim \( p=x^2+x+1 \in \mathbb{Z} _2 [x] \). Tällöin
▻▻ \( \mathbb{Z} _2[x]/p = \{[0]_p,[1]_p,[x]_p,[x+1]_p\} \).
▻▻ ▻▻ esim. \( [0]_p=\{0,x^2+x+1, x^3+x^2+x,\dots\} \).

Polynomien jäännösluokkarenkaat

Lause \( \begin{Bmatrix} [f]_p=[g]_p \\ [h]_p=[k]_p \end{Bmatrix} \ ⇒ \ \begin{cases} [f+h]_p = [g+k]_p \\ [fh]_p =[gk]_p\end{cases} \) .
▻▻ myös, määritellään \( \begin{cases} [f]_p+[g]_p:=[f+g]_p \\ [f]_p [g]_p := [fg]_p\end{cases} \).

Lause \( K[x]/p \) on vaihdannainen rengas, ja silla on alirengas \( K^* \) joka on isomorfinen K:n kanssa.

Lause \( [f]_p \) on \( K[x]/p \):n ykksikkö ⇔ f,p suurin yhteinen tekijä on \( 1_K \).

Renkaat K[x]/p jaottomilla p

Määr K kunta, \( p\in K[x] \). Seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät:
▻▻ \( \begin{cases} & p \text{ on jaoton renkaassa } K[x] \\ ⇔ & K[x]/p \text{ on kunta} \\ ⇔ & K[x]/p \text{ on kokonaisalue} \end{cases} \).

Lause Olkoon p jaoton \( K[x] \):ssä. Tällöin \( K[x]/p \) on K:n laajennuskunta/field extension.
▻▻ Lisäksi, p:lla on juuri, nimittäin \( [x]_p \).

Ideaalit ja tekijärenkaat

Olkoon R rengas ja \( I\subset R \) epätyhjä.

Ideaalit

Määr \( I \text{ on } R \):n ideaali/ideal, jos
(1) \( a-b\in I,\ \forall a,b\in I \ \) ja
(2) \( ra\in I,\ ar \in I ,\ \forall r\in R,\ a\in I \) .

Esim \( I=\{g\in R[x]: g=hf \text{ jollain } h\in R[x]\} \) on vaihdannaisen renkaan R ideaali. (f is fixed)

Esim \( I_G =\{f\in \mathcal{F} (\mathbb{R} ): f(x)=0\ \forall x\in G\} \) on reaalifunktioiden renkaan \( \mathcal{F} (\mathbb{R} ) \) ideaali.

Lause Olkoon R vaihdannainen, \( c_1,\dots,c_n\in R \),
▻▻ \( I=\{r_1 c_1 + r_2c_2 + \dots + r_n c_n: r_1,\dots,r_n\in R\} \) on R:n ideaali, alkioiden \( c_j \) virittämä ideaali/spanned ideal.

Määr \( I=\{rc:r\in R\} \) on pääideaali/primary ideal. (This is the same form as above example)
▻▻ Jos kaikki R:n ideaalit ovat pääideaaleja, R on pääideaalirengas.

Esim \( K \text{ kunta} \ ⇒\ K[x] \) pääideaalirengas.

Kongruenssi ja sivuluokat

Määr a on kongruentti b:n kanssa modulo \( I \), jos \( a-b \in I\).
▻▻ \( a \equiv b \ ( \text{mod }I) \)

Huom \( a \equiv 0_R \ ( \text{mod }I) \ ⇔ \ a\in I \).

Lause Olkoon I R:n ideaali. Tällöin:
(1) \( a \equiv a \ ( \text{mod }I) ,\ \forall a \in R \);
(2) \( a \equiv b \ ( \text{mod }I) \ ⇒\ b \equiv a \ ( \text{mod }I) \) ;
(3) \( \begin{Bmatrix} a \equiv b \ ( \text{mod }I) \\ b \equiv c \ ( \text{mod }I) \end{Bmatrix} \ ⇒\ a \equiv c \ ( \text{mod }I) \).

Lause Olkoon I R:n ideaali. \( \begin{Bmatrix} a \equiv b \ ( \text{mod }I) \\ c \equiv d \ ( \text{mod }I) \end{Bmatrix} \ ⇒\ \begin{cases} a+c \equiv b+d \ ( \text{mod }I) \\ ac \equiv bd \ ( \text{mod }I) \end{cases} \)

Määr Olkoon I R:n ideaali, \( a\in R \).
▻▻ Sivuluokka/coset \( a+I:=\{b\in R : b \equiv a \ ( \text{mod }I) \} = \{b\in R: b-a\in I\} \).

▻▻ Kaikkien sivuluokkien muodostamaa joukkoa merkitään \( R/I \).

Tekijärenkaat ja homomorfismit

Olkoon I R:n ideaali.

Lause \( a,b,c,d\in R/I.\ \ \begin{Bmatrix} a+I=b+I\\ c+I=d+I \end{Bmatrix} \ ⇒\ \begin{cases} (a+c)+I = (b+d)+I \\ ac+I=bd+I \end{cases} \) .

Lause Varustetaan sivuluokkien joukko R/I laskutoimituksilla \( \begin{cases} (a+I)+(b+I)= (a+b)+I \\ (a+I)(b+I) = ab +I \end{cases} \).
▻▻ Tällöin, \( R/I \) on myös rengas, ja kutusutaan tekijärenkaaksi/Quotient ring I:n suhteen.

Huom R vaihdannainen ⇒ R/I vaihdannainen.

Esim Tekijärenkas \( \mathbb{Z/n Z} = \mathbb{Z} _n;\ K[x]/(p) = K[x]/p \text{, jos } p\in K[x] \).

Määr Homomorfisimin \( f:R\to S \) ydin/kernel on joukko \( Y=Y_f-\{r\in R:f(r)=0_s\} \).

Lause \( f:R\to S \) homomorfismi ⇒ ydin \( Y_f \) on R:n ideaali.

Lause Renkaiden Isomorfialause \( f:R\to S \) surjektiivinen homomorfismi ⇒ Tekijärengas \( R/Y_f \) on isomorfinen S:n kanssa.

Alku- ja maksimaaliset ideaalit

Olkoon R vaihdannainen rangas ja \( P\ R \):n ideaali.

Määr P on alkuideaali/prime ideal jos \( \begin{cases} P\neq R \\ ab\in P ⇒ a\in P \text{ tai } b\in P \end{cases} \).

Lause R:n ideaali on alkuideaali ⇔ R/P on kokonaisalue.

Määr R:n ideaali on maksimaalinen ideaali/maximal ideal jos \( \begin{cases} M\neq R \\ M\subset J \subset R \ ⇒\ J=M \text{ tai } J=R \end{cases} \), missä J on R:n ideaali.

Lause R:n ideaali M on maksimaalinen ⇔ R/M on kunta.

Seuraus Vaihdannaisessa renkaassa, maksimaalinen ideaali ⇒ alkuideaali.

Ryhmät

Abelin ryhmä \( \begin{cases} (a\star b)\star c = a \star (b\star c) \\ \exists e:\ e \star a = a\star e = a \\ \exists d:\ a\star d = d\star a = e \\ a\star b = b\star a \end{cases} \).

Permutaatioiden joukko \( S_n = \{f:T\to T: f \text{ on bijektio} \} \).

Isometrinen \( \begin{cases} f:\mathbb{ R}^2 \to \mathbb{ R}^2 \text{ bijektio} \\ |f(x)-f(y)|=|x-y| \end{cases} \).
Isometrioiden joukkoa \( (E(2),\circ) \) on ryhmä.

Symmetriaryhmä \( D_\Omega = \{f\in E(2): f(\Omega) = \Omega\} \).

Ryhmä \( G\ \begin{cases} e \text{ yksikäsitteinen} \\ ab=ac \ ⇒\ b=c \\ \forall a\ \exists a ^{-1} \end{cases} \).

Alkion kertaluku \( |a| = \min \{k: a^k =e\}\).

Aliryhmä \( H\subset G:\ ab\in H\ \forall a,b\in H \).
Aliryhmäkriteeri: \( ab ^{-1} \in H \ \forall a,b\in H \).

Keskus \(Z(G):=\{a\in G: ag=ga \ \forall g\in G\} \) on G:n aliryhmä.

Syklinen aliryhmä \( \langle a \rangle := \{a^k: k\in \mathbb{Z} \} \) Jos \( G= \langle a \rangle,\ G \) on syklinen ryhmä.

Ryhmien isomorfinen \(G \cong H\ \ \ \exists \text{ bijektivinen }f:G\to H: \ \ f(ab)=f(a)f(b) \).
\(G \cong A(G) \) (jokin aliryhmä).

\(f:G\to H \text{ isomorfismi } \ ⇒\ \begin{cases} |G|=|H| \\ G \text{ Abelin, myös } H \\ |f(a)|=|a| \end{cases} \).

\(f:G\to H \) homomorfismi ⇔ \(f(ab)=f(a)f(b),\ \forall a,b\in G \) (def).
\(f:G\to H \) homomorfismi ⇒ \(\begin{cases} f(e_G) = e_H \\ f(a ^{-1} )=f(a) ^{-1} \\ f(G)\subset H \text{ on } H \text{:n aliryhmä}\\ f \text{ injektio} \ ⇒\ f(G) \cong G \end{cases} \).

k-syklik permutaatio \((a_1a_2\dots a_k):\ a_1 \to a_2 \to \cdots \to a_k \to a_1 \).
Syklit \(\sigma\circ\tau = \tau \circ\sigma \).

\(\tau_1,\dots,\tau_j \in S_n \) vaihtoja ⇒ \((\tau_1\tau_2\dots T_j) ^{-1} = \tau_j \tau _{j-1} \dots \tau_1 \).

Alternoiva ryhmä: \(S_n \):n parillisten permuttatioiden joukko \(A_n \); se on myös aliryhmä ja \( |A_n| = |S_n| /2\).

Normaalit alirymät ja tekijäryhmät

\(a \equiv b \ ( \text{mod }K) \ ⇔ \ ab ^{-1} \in K \), missä K on G:n aliryhmä, \(a,b\in G \).

\( K \text{ on } G \text{:n aliryhmä} \ ⇒\ \begin{cases} a \equiv a \ ( \text{mod }K) \\ a \equiv b \ ( \text{mod }K) \ ⇒\ b \equiv a \ ( \text{mod }K) \\ \begin{Bmatrix} a \equiv b \ ( \text{mod }K) \\ b \equiv c \ ( \text{mod }K) \end{Bmatrix} \ ⇒\ a \equiv c \ ( \text{mod }K) \end{cases} \).

Oikea sivuluokka \( Ka:=\{b\in G: b \equiv a \ ( \text{mod }K) \} =\{ka: k\in K\}\). a sivuluokan edustaja.
Vasen sivuluokka \( aK:=\{ak:k\in K\} \).

K on G:n aliryhmä. Tällöin \(\begin{cases} a \equiv c \ ( \text{mod }K) \ ⇔ \ Ka=Kc \\ \text{joko } Ka=Kc \text{ tai } Ka,\ Kc \text{ erilliset} \\ G = \bigcup \limits_{a\in G} Ka \\ f:K\to Ka, \ f(k)=ka \text{ on bijektio} \end{cases} \).

Aliryhmän K:n indeksi \([G:K] := \# \)Oikeiden sivuluokien lukumäärä. e.g. \([\mathbb{Z} : \langle n \rangle ] =n \).

Lagrangen lause \(|G|=|K|[G:K] \).
G äärellinen ryhmä \(\begin{cases} a\in G \ ⇒\ |a| \big | |G| \text{ (jakaa)} \\ |G| = k \ ⇒\ a ^{k} =e\end{cases} \).
\(|G|=p \text{ alkuluku } ⇒ \ G\cong \mathbb{Z} _p \).

Normaalit ryhmät

N on G:n aliryhmä, jos \( aN=Na,\ \forall a\in G \).
Normaali aliryhmä \( \begin{Bmatrix} a \equiv b \ ( \text{mod }N) \\ c \equiv d \ ( \text{mod }N) \end{Bmatrix} \ ⇒\ ac \equiv bd \ ( \text{mod }N) \).

Olkoon N G:n aliryhmä, seuraavat ovat yhtäpitävät:
\( \begin{cases} N \text{ on } G \text{:n normaali aliryhmä} \\ a ^{-1} Na \subset N \\ a N a ^{-1} \subset N \\ a ^{-1} Na = N \\ a Na ^{-1} =N \end{cases} \).

Homorfismin \(f:G\to H \) ydin on \( Y_f=\{a\in G: f(a)=e _H\} \).
\( Y_f \) on G:n normaali aliryhmä.
\( Y= \langle e_G \rangle \ ⇔ \ f\) on injektio.

N G:n normaali aliryhmä ⇒ on olemassa surjektiivinen homomorfismi \( f:G\to H :\ Y_f = N \).
\([G:N]=2 \ ⇒\ N \) normaali aliryhmä.

Abelin ryhmän kaikki aliryhmät ovat normaaleja.

Tekijäryhmät ja homomorfismit

Olk N G:n aliryhmä.
\(G/N = \{Na: a\in G\},\ \ \ \begin{cases} (Na)(Nb)=Nab \\ (N+a)(N+b)=N(a+b) \\ \begin{Bmatrix} Na=Nc \\ Nb = Nd \end{Bmatrix} \ ⇒\ Nab= Ncd \\ G/N \text{ ryhmä} \\ |G/N| = |G|/|N| \\ G \text{ Abelin} \ ⇒\ G/n \text{ Abelin} \end{cases} \).

\(G/N \) Abelin ⇔ \( aba ^{-1} b ^{-1} \in N,\ \ \forall a,b,\in G\).

Olk \(f :G\to H\) surjektiivinen homorfismi. \(Y_f \) sen ydin.
Isomorfialause \( G/Y_f \cong H \).
\( f(a)=f(b) \ ⇔ \ Ya=Yb \).

G yksinkertainen, jos sillä ei ole aitoja normaaleja aliryhmiä.

G Abelin ryhmä. Tällöin G yksikertainen ⇔ \( G \cong \mathbb{Z} _p,\ p \) alkuluku.

You must be logged in to post a comment.